三倍角公式

三倍角公式是把形如sin(3x), cos(3x)等三角函式用對應單倍角三角函式表示的恆等式。

基本資訊

中文名

三倍角公式

外文名

Three times angle formula

含義

用單倍角函式表示三倍角函式

目錄

三倍角公式

三倍角公式

三角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

推導過程

純三角證法

1.sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin³a

2.cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa

=4cos³a-3cosa

（1）sin3a=3sina-4sin³a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60°+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

（2）cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)²]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(6