f(x)＝x^3在(-∞,∞)單調遞增
設x1,x2∈(-∞,∞),且x1 < x2,則有：
x2－x1 > 0
∴f(x2)－f(x1)＝(x2)^3－(x1)^3＝(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2]
(1)當x1,x2同號時,即x1·x2 > 0,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2－2·x2·x1＋(x1)^2＋3·x2·x1＝(x2－x1)^2＋3·x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,3·x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(2)當x1,異號時,即x1·x2 < 0,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2＋2·x2·x1＋(x1)^2－x2·x1＝(x2＋x1)^2－x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,-x1·x2 > 0
(3)當x1＝0,x2 > 0時,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2 > 0
(4)當x2＝0,x1 < 0時,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x1)^2 > 0
綜上所述,(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
∴(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2] > 0
即f(x2)－f(x1) > 0
∴f(x)＝x^3在(-∞,∞)單調遞增
f(x)＝x^3在(-∞,∞)單調遞增
設x1,x2∈(-∞,∞),且x1 < x2,則有：
x2－x1 > 0
∴f(x2)－f(x1)＝(x2)^3－(x1)^3＝(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2]
(1)當x1,x2同號時,即x1·x2 > 0,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2－2·x2·x1＋(x1)^2＋3·x2·x1＝(x2－x1)^2＋3·x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,3·x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(2)當x1,異號時,即x1·x2 < 0,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2＋2·x2·x1＋(x1)^2－x2·x1＝(x2＋x1)^2－x1·x2
∵(x2－x1)^2 ≥ 0,-x1·x2 > 0
∴(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
(3)當x1＝0,x2 > 0時,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x2)^2 > 0
(4)當x2＝0,x1 < 0時,則
(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2＝(x1)^2 > 0
綜上所述,(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2 > 0
∴(x2－x1)·[(x2)^2＋x2·x1＋(x1)^2] > 0
即f(x2)－f(x1) > 0
∴f(x)＝x^3在(-∞,∞)單調遞增