僅用相似三角形的定義證明該定理 相似三角形預備定理：平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例． △ABC,DE‖BC,交AB於D,交AC於E DE‖BC, 同位角相等所以, ∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∠A=∠A, △ABC∽△ADE, AB:AC:BC=AD:AE:DE. 那就用後邊的吧: 一條線段與間距相等的一組平行線相交,平行線將該線段等分.——公理還是定理記不請了. 一組平行線與兩條線段相交,平分一條線段則平分另一條線段.——也是定理了. 設△ABC,B"C"‖BC,交AB於B",交AC於C", 做一組平行於BC的線段,當然也平行於B"C"了, 過點A做BC的平行線L, 做L和BC的平行線B1C1,使得B1平分AB,則C1平分AC, 看看B1C1和B"C"是否重合, 如果不重合,再做BC的平行線將AB段4等分,看看是否有線和B"C"重合,沒有就繼續8等分. 如此重複... B"C"與離它最近的平行線之間的距離將越來越小,直到小於任何給定的數值,也就是將趨於無窮小. 這時,AB"之間有m個間隔,B"B之間有n個間隔,則AB":B"B=m:n, 同樣,AC"之間有m個間隔,C"C之間有n個間隔,則AC":C"C=m:n, △ABC和△AB"C",∠A=∠A,AB":AB=AC":AC=m:(m+n). 所以 △ABC∽△AB"C", AB:AC:BC=AB":AC":B"C".
僅用相似三角形的定義證明該定理 相似三角形預備定理：平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例． △ABC,DE‖BC,交AB於D,交AC於E DE‖BC, 同位角相等所以, ∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∠A=∠A, △ABC∽△ADE, AB:AC:BC=AD:AE:DE. 那就用後邊的吧: 一條線段與間距相等的一組平行線相交,平行線將該線段等分.——公理還是定理記不請了. 一組平行線與兩條線段相交,平分一條線段則平分另一條線段.——也是定理了. 設△ABC,B"C"‖BC,交AB於B",交AC於C", 做一組平行於BC的線段,當然也平行於B"C"了, 過點A做BC的平行線L, 做L和BC的平行線B1C1,使得B1平分AB,則C1平分AC, 看看B1C1和B"C"是否重合, 如果不重合,再做BC的平行線將AB段4等分,看看是否有線和B"C"重合,沒有就繼續8等分. 如此重複... B"C"與離它最近的平行線之間的距離將越來越小,直到小於任何給定的數值,也就是將趨於無窮小. 這時,AB"之間有m個間隔,B"B之間有n個間隔,則AB":B"B=m:n, 同樣,AC"之間有m個間隔,C"C之間有n個間隔,則AC":C"C=m:n, △ABC和△AB"C",∠A=∠A,AB":AB=AC":AC=m:(m+n). 所以 △ABC∽△AB"C", AB:AC:BC=AB":AC":B"C".