基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變數和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”．但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值，有的需要對待求式作適當變形後才可求最值．常見的變形技巧有以下幾種：

　加上一個數或減去一個數使和或積為定值

函式f(x)＝＋x(x<3)的最大值是( )

A．－4 B．1

C．5 D．－1

【解析】　因為x<3，所以3－x>0，所以f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1.當且僅當＝3－x，即x＝1時等號成立，所以f(x)的最大值是－1.

【答案】　D

　平方後再使用基本不等式

一般地，含有根式的最值問題，首先考慮平方後求最值．

若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．

[思路點撥]　由於已知條件式中有關x，y的式子均為平方式，而所求式中x是一次的，且根號下y是二次的，因此考慮平方後求其最值．

【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.當且僅當2x2＝1＋，即x＝，y＝時，等號成立．故x的最大值為.

　展開後求最值

對於求多項式積的形式的最值，可以考慮展開後求其最值．

已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．

[思路點撥]　由於待求式是一個積的形式，因此需將多項式展開後將積的最小值轉化為和的最小值．

【解】　由題得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，

因為a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(當且僅當a＝b＝1時取等號)，所以的最小值是4.

　變形後使用基本不等式

設a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那麼( )

A．a＋b有最小值2(＋1)

B．a＋b有最大值(＋1)2

C．ab有最大值＋1

D．ab有最小值2(＋1)

【解析】　因為ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，

所以－(a＋b)≥1，它是關於a＋b的一元二次不等式，

解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(捨去)，