言：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利??龐加萊（HenriPoincare）:“有些人彷彿生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。”龐加萊作為數學家的偉大，並不完全在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。”後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想象一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們現在在這樣的球形房子裡。現在拿一個氣球來，帶到這個球形的房子裡。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。好，現在我們繼續吹大這個汽球，一直吹。吹到最後會怎麼樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是汽球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。為什麼？因為，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。艱難的證明之路[編輯本段]2000年5月24日，美國克萊數學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數學難題）之一，這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解決。”克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個“千年大獎問題”分別是：NP完全問題，霍奇猜想（Hodge），黎曼假設（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，簡稱NS方程），BSD猜想（BirchandSwinnerton-Dyer）。提出這個猜想後，龐加萊一度認為自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。一、早期的證明[編輯本段]20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特海（Whitehead）對這個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，失之桑榆、收之東隅。但是在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現在被統稱為懷特海流形。30年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”（Dehn"sLemma）而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰??米爾諾（JohnMilnor）曾經為此寫下一段打油詩：“無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費力。”然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳著一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。
言：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。一位數學史家曾經如此形容1854年出生的亨利??龐加萊（HenriPoincare）:“有些人彷彿生下來就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會聽見這個惱人的聲音在我耳邊響起。”龐加萊作為數學家的偉大，並不完全在於他解決了多少問題，而在於他曾經提出過許多具有開創意義、奠基性的大問題。龐加萊猜想，就是其中的一個。1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個看似很簡單的拓撲學的猜想：在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那麼這個空間一定是一個三維的圓球。但1905年發現提法中有錯誤，並對之進行了修改，被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚於n維球面。”後來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球。或者，想象一隻巨大的足球，裡面充滿了氣，我們鑽到裡面看，這就是一個球形的房子。我們不妨假設這個球形的房子牆壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們現在在這樣的球形房子裡。現在拿一個氣球來，帶到這個球形的房子裡。隨便什麼氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球並不是癟的，而是已經吹成某一個形狀，什麼形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。好，現在我們繼續吹大這個汽球，一直吹。吹到最後會怎麼樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最後，一定是汽球表面和整個球形房子的牆壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點；另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。為什麼？因為，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。看起來這是不是很容易想清楚？但數學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。艱難的證明之路[編輯本段]2000年5月24日，美國克萊數學研究所的科學顧問委員會把龐加萊猜想列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數學難題）之一，這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解決。”克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個“千年大獎問題”分別是：NP完全問題，霍奇猜想（Hodge），黎曼假設（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，簡稱NS方程），BSD猜想（BirchandSwinnerton-Dyer）。提出這個猜想後，龐加萊一度認為自己已經證明了它。但沒過多久，證明中的錯誤就被暴露了出來。於是，拓撲學家們開始了證明它的努力。一、早期的證明[編輯本段]20世紀30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項。但突然，英國數學家懷特海（Whitehead）對這個問題產生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，失之桑榆、收之東隅。但是在這個過程中，他發現了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現在被統稱為懷特海流形。30年代到60年代之間，又有一些著名的數學家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎得主，一名希臘數學家。因為他的名字超長超難念，大家都稱呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直與數學圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學邀請做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”（Dehn"sLemma）而聞名於世，喜好舞文弄墨的數學家約翰??米爾諾（JohnMilnor）曾經為此寫下一段打油詩：“無情無義的迪恩引理/每一個拓撲學家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費力。”然而，這位聰明的希臘拓撲學家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學流傳著一個故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數學家朋友，然而，只是翻了幾頁，那位數學家就發現了錯誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最後選擇了隱忍不言。