人類使用圓周率π有著相當漫長的歷史，古人早就知道任何一個圓的周長和直徑之比是一個常數，證明方法也並不複雜。

如上圖所示，假設有兩個同心圓O1和O2，圓心為O，它們的半徑分別為r1和r2，並且r1<r2。然後把兩個同心圓分成n等份，考察其中一等份。可以看到，△AOB和△COD均為等腰三角形，OA=OB=r1，OC=OD=r2。再由∠AOB=∠COD，就能證明△AOB∽△COD。由此可得如下的關係：

圓O1和O2內接正n邊形的周長p1和p2分別為：

p1=n·AB

p2=n·CD

如果圓分成的等份越多，那麼，內接正多邊形的周長就越接近於圓，所以圓O1和O2的周長c1和c2與p1和p2有如下的關係：

c1≈p1=n·AB

c2≈p2=n·CD

如果取極限，當圓分為無窮多等份時，即n趨於無窮大時，內接正多邊形的周長就會等於圓的周長，所以有如下的關係：

把上述兩式經過變形可得如下的形式：

由於相似三角形的關係，AB/r1=CD/r2，所以可以得到如下的關係：

因此，任何圓的周長與直徑之比是一個常數，這個常數就是我們所說的圓周率π。

當然，圓的周長與半徑的比值也是常數（記作τ，大約為6.28），之所以數學家沒有把這個常數定義為圓周率，是因為用圓的周長與直徑定義的常數使用起來更為方便，例如，用公式表示圓的面積時，πr^2顯然比τ/2r^2來得更方便。雖然曾有人主張把π替換成τ，因為在某些公式中用τ會更簡潔，但也僅限於少數公式，所以π的地位無可撼動。

怎樣證明圓的周長和直徑之比是個常數？當然要用物理定律來證明。

取一根槓桿，兩端的長度分別為R1和R2，端點平衡作用力分別為F1和F2。根據“阿基米德撬起地球”定律：R1F1=R2F2。

槓桿在平衡作用力下旋轉一週，端點運動的距離分別為周長L1和L2，做功量是F1L1和-F2L2。根據能量守恆定律：F1L1=F2L2。

把兩個等式相除，消掉F1和F2，得到R1/L1=R2/L2。

證明了圓的半徑和周長之比是常數，直徑和周長之比自然是常數。證明完畢。

任何兩個獨立的個體之間的比較結果都是一個常數。就如同一個父親與自己的孩子比較一樣，永遠差著一個固定的年齡差，但是，由於兩個獨立的個體都是存在於同一個條件，才會有這樣固定的結果，如果彼此存在的條件不同了或多變了，那麼，這個恆定值也就不恆定了，

感謝邀請！圓的周長與直徑的比值就是我們所說的“圓周率”，也就是π約等於3.14（哦，對了，3.14是一個很特殊的日子，它是馬克思主義的創始人之一、全世界無產階級和勞動人民的革命導師卡爾·馬克思和現代最偉大的物理學家之一霍金教授的逝世紀念日，也是偉大的物理學家愛因斯坦的誕辰日，如今被世界各國年輕情侶看重的白色情人節也是這一天）。

要證明圓的周長和直徑之比是個常數其實並不難，拋開“慣用”的割圓術不說，證明的方法還是有很多的。

1、定義證明法

何為常數？常數其實就是指固定不變的數值，說白了就是已知數。由於設定的條件不同，因此可以說常數是定值，卻不能說定值是常數，而圓的周長除以直徑所得的數本身就是一個固定不變的數值，只不過它是一個無線不迴圈的無理數而已。與圓周率一樣，二的算術平方根、黃金比等都是一個數值不變的常量。

2、同心圓證明法

根據圓的定義之在同一平面內，到定點的距離等於定長的點的集合叫做圓，可得知所有的圓都是“相似”的，因此圓的大小隻與其半徑有關，說白了由直徑確定的圓都有確定的周長。

比如直徑分別為1米和2米的同心圓，大圓的任意兩條直徑相交的夾角與這兩條相交直徑在小圓上所投影的角度相等（如下圖），反言之就是同心圓中小圓任意兩個半徑的夾角與這兩條半徑向兩頭延伸並與大圓相交，所得到的角度相等。

3、實際操作法

“百聞不如一見，百見不如一試”，最好的方法莫過於實踐了，可以買一個圓規多畫幾個圓，然後依次量出各個圓的周長和直徑，然後分別用各個圓的周長除以對於的直徑，最後對比一些各個比值是否是一樣的。

儘管現在的計算機已經將圓周率計算到了小數點後的十萬億位，但它仍然是一個公認的常數！

可以利用曲線積分來證明這個問題：

有曲線積分公式，

設，曲線L的引數方程為，

則有，

這裡的曲線就是半徑為R的圓，方程為：

引數方程式是：

其中 Θ 表示旋轉一週的角度，它是一個常數。

因為要求的是曲線的弧長，所以：

於是，圓的周長S為：

進而，周長S和直徑D=2R之比就是：

因為 Θ 是常數 所以 S/D 是常數。

令 S/D = π 則 Θ=2π。

圓的周長和直徑的比值叫圓周率，它是無限小數，也就是說只能無限的接近它而不能求出它，數學概念規定了只要不是變數就是常數，顯然圓周率是不會變化的，他是常數

簡單理解用祖沖之的割圓術就可以解決這個問題。不過切割的方法有點說道。要無限次切割，直到切割以後的弦長等於弧長。而這是幾何不可能成立的。但是代數方法，切割到最後變成一個數值或者說點代表一個數值，不考慮幾何問題，就可以計算出派了。可是，無論切割無限次到底是多少次，這都僅僅是代數逼近結果，因為派是超越數。這也是數學不能完成代數幾何絕對意義的大一統的原因之一。所謂常熟，實際只有在限制小數點後的位數的前提下，才是有限意義的常熟。這個常熟小數點後面，每增加一位，都是有變化的，所以並不常。這就是超越數的特徵之一。

不用這麼複雜！不需什麼高深的知識！設兩圓半徑分別為r1、r2，則圓的周長C1、C2，由於兩圓相似，根據周長比等於相似比，圓的相似比等於半徑比，即C1:C2=r1:r2，故C1:C2=2r1:2r2，所以C1:2r1=C2:2r2，即任何圓的周長與直徑之比都相等，即為一個常數！

我來說一說，其實一點也不難，不用故弄玄虛。圓是這樣定義的:平面上距離一個定點等距的點的集合，也就是說排除位置，圓只有一個引數:半徑。用極限的方法，把圓理解為正N邊形，那麼每條邊的長度顯然用餘弦定理得到是:根號【rr+rr-2rr*cos（2π/N）】，化簡後是一個k*r的形式，顯然這個正N邊形的周長為Nkr，它和直徑（2r）的比值剛好約去r，所以求這個比值當N趨於無窮大的時候的極限就行了。

圓的周長與直徑之比直觀就可看到是個常數，幾乎不需證明。圓內接正多邊形當邊數越分越多時，邊長逼近相應弧長。從宏觀上看邊長與相對應弧長的長度並無差異。在邊長與兩個半徑組成的等腰三角形中，邊長與半徑之比是常數，所有半徑的和等於所有相應弧長的和，即是圓周長與半徑之比為常數。…春草