額！一個水中漩渦的所切割的平行線的圓都是一個又一個的無線接近圓的概念！這是宇宙間的自然規律也是圓周率成因的唯一標準！

以下證法都不太好懂呀

圓周率π是無理數。證明如下：

假設π是有理數，則π=a/b，（a,b為自然數）

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0<x<a/b,則

0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)

0<sinx<1

以上兩式相乘得：

0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)

當n充分大時，,在[0，π]區間上的積分有

0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）

又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶數階導數)

由於n!f(x)是x的整係數多項式，且各項的次數都不小於n，故f(x)及其各階導數在x=0點處的值也都是整數，因此，F(x)和F(π)也都是整數。

又因為

d[F"(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F"(x)cosx-F"(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有：

∫f(x)sinxdx=[F"(x)sinx-F(x)cosx]，（此處上限為π，下限為0）

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]區間上的積分為整數，這與（1）式矛盾。所以π不是有理數，又它是實數，故π是無理數。

擴充套件資料：

π也等於圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。 在分析學裡，π可以嚴格地定義為滿足sin x = 0的最小正實數x。

把圓周率的數值算得這麼精確，實際意義並不大。現代科技領域使用的圓周率值，有十幾位已經足夠了。如果以39位精度的圓周率值，來計算宇宙的大小，誤差還不到一個原子的體積 。

以前的人計算圓周率，是要探究圓周率是否迴圈小數。自從1761年蘭伯特證明了圓周率是無理數，1882年林德曼證明了圓周率是超越數後，圓周率的神秘面紗就被揭開了。

π在許多數學領域都有非常重要的作用。

無理數也可以透過非終止的連續分數來處理。

無理數是指實數範圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進位制下的無限不迴圈小數，如圓周率、

等。

而有理數由所有分數，整陣列成，總能寫成整數、有限小數或無限迴圈小數，並且總能寫成兩整數之比，如21/7等。

如果正整數N不是完全平方數，那麼

不是有理數（是無理數）。

證明：若假設

是有理數，不妨設

，其中p與q都是正整數（不一定互質。若假定p、q互質則證法稍有變動）。

設

的整數部分為a，則有不等式

成立。兩邊乘以q，得

因p、q、a都是整數，p-aq也是一個正整數。

再在上述不等式的兩邊乘以

，得

即：

顯然，qN-ap也是一個正整數。

於是我們找到了兩個新的正整數

和

，它們滿足

，即

，並且有

。

重複上述步驟，可以找到一系列的

使得

且

。因該步驟可以無限重複，意味著

均可無限減小，但這與正整數最小為1矛盾。

因此假設錯誤，

不是有理數。

用正多邊形的不斷＂迫近＂圓的道理，用正多邊形的面積無限接近圓的面積的道理推導計算公式，你會發現這個問題的。

可能用解析幾何的方法比較簡單。

在笛卡爾座標系中，圓的方程為：

x(平方）+y(平方）=R（平方）

如果該方程的解集合都為有理解，就證明了半徑R 與弧長（周長）是可通約的，也就證明了周長與2R的比值π為有理數；如果方程的解集合中存在無理解，則周長與直徑的比值就必為無理數。如果取x 與y相等的一組解，那麼R 就為相應的x 和y 構成的正方形的對角線，對角線與邊長不可通約，因此方程的解必為無理解，周長與直徑的比值π也必為無理數。

以上只是一種很粗淺的證明方法。這種方法只能證明π是無理數，還無法證明π是超越數。要證明π是超越數，必須用數學分析的方法，證明π只能展開為無窮級數，無法表示為算數數、幾何數和代數數。