談談理論物理和數學物理的區別和聯絡

先從理論物理說起，我認為理論物理是利用數學工具來解釋物理現象，闡述物理規律，表達物理思想的學科。所以理論物理側重的是物理，但是數學在裡面起到重要的作用，因為只有能夠用數學語言敘述出來的理論才能形成一種科學。更簡單的說，理論物理就是用數學來描述物理。著名的例子就是愛因斯坦用黎曼幾何來書寫廣義相對論，楊振寧用纖維叢聯絡理論來描述規範場論。

數學物理是數學和理論物理交叉的地帶。不過它側重的是數學方面，一句話說數學物理就是研究和理論物理相關的數學。做數學物理的研究學者來自於兩部分。

一部分來自於物理學家，比如目前被稱為最有望成為大統一理論的超弦理論，它的研究就需要具備非常多的數學基礎。國際上頂尖的弦理論學家，比如Witten， Vafa，Strominger, Nekrasov 等人，我覺得他們所懂的數學超過絕大多數的數學家。他們本身算物理學家的範疇，但是他們在利用現代幾何、拓撲、代數等數學工具做弦理論研究的過程中，發現了很多新的數學現象，提出了新的數學問題。這些相關的工作也就成為了數學物理的研究內容。舉幾個有名的例子，Witten透過比較兩種不同的二維量子引力模型，提出了曲線模空間相交數的計算公式，也就是著名的Witten猜想；Candalas 等人利用弦理論中的映象原理，提出Quintic中有理曲線的計數公式；Strominger和Yau，Zaslow聯絡T-對偶，提出所謂SYZ program用幾何方式來理解映象對稱； Vafa 和Marino透過大N對偶理論，給出曲線模空間相交數和量子維數關係的Marino-Vafa公式等等。總之，超弦理論的出現，帶來了大量的數學問題，所以數學物理領域得到蓬勃發展。

另外一部分研究數學物理的學者來自數學家，他們的工作側重於解決數學問題。比如丘成桐證明了正質量猜想，Kontsevich證明了Witten猜想。當然，像丘成桐和Kontsevich這樣的數學家，他們不止解決問題，還能提出框架性的數學結構。前面提到的丘成桐參與提出了SYZ program，Kontsevich提出了Homological mirror symmetry 都成為現代數學物理熱門的研究主題。

從上論述也可以看出，前一部分的數學物理還靠近物理，後一部分的數學物理就更靠近數學。我們繼續往數學方向走，還有一些數學家的工作，他們吸收理論物理中的想法來解決或研究數學問題，比如Atiyah, Hitchin, Donaldson等人在上世紀八十年代，吸收規範場論的想法，在幾何拓撲方面做的工作。更有名的例子可能是Perelman，其實Perelman 在解決Poincare猜想的時候，第一步構造那個度量泛函的想法也正是來自於超弦理論。此外，還有很多數學家研究的是從這些數學物理問題發展出的數學方向，比如研究Gromov-Witten, instanton counting, Gopakumar-Vafa invariants, Donaldson-Thomas, mirror symmetry, 拓撲量子場論，可積系統等等，這些相關方向的數學研究都屬於數學物理的範疇。

如果繼續往數學方向走，最後到了純數學，比如布林巴基學派的數學，還有數論，那種純如Hardy眼中的數學。這類數學完全可以脫離物理理論。儘管它們的產生髮展不需要任何物理背景，但是這些數學結果現在也發現可以被應用到理論物理的研究中來。

理論物理和純數學就好像分別處在一根繩子的兩端，而數學物理處在繩子中間的部分，我想繩子一端的震動，哪怕這兩個端點相差很遠，但經過繩子中間部分的傳遞，也總會慢慢地影響到另一端。

數學物理研究的是物理中的數學問題，它即可以是弦論、量子力學、相對論力學中的數學問題，也可以是普通流體力學、固體力學等基於經典力學的數學問題。

而理論物理，個人理解是區別於實驗物理而言，主要是透過理論推導的方法來探究物理的本質，當然推導要使用大量數學方法，但是這其中也會涉及到一些對物理世界的假說，猜想之類。比如愛因思坦提出相對論，實驗都不是自己做的，總結別人的實驗而得到一套理論。

再進一步說，數學物理本質上是研究數學問題，只不過這個數學問題有個物理背景罷了。

比如研究拋射運動，如果是物理研究，我們可能會做不同形狀的物體，以不同的速度做拋射實驗，最後歸結出來一個關於拋射角度、速度、空氣阻力的數學模型。那麼數學物理來研究這個問題會是樣呢？

假設我們已經知道了阻力跟速度的三次方成正比，那麼我們可以要問，是不是在任意高度下，只要選擇適當的拋射角度和拋射速度，就能夠剛好落在任意指定的距離呢？

這就是特定型別的微分方程在給定邊界條件下解是否存在的問題。到這裡這就是一個單純的數學問題了。