十字相乘法——藉助畫十字交叉線分解係數,從而把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.
十字相乘法是二次三項式分解因式的一種常用方法,它是先將二次三項式 的二次項係數a及常數項c都分解為兩個因數的乘積（一般會有幾種不同的分法）
然後按斜線交叉相乘、再相加,若有 ,則有 ,否則,需交換 的位置再試,若仍不行,再換另一組,用同樣的方法試驗,直到找到合適的為止.
3.因式分解的一般步驟
（1） 如果多項式的各項有公因式時,應先提取公因式；
（2） 如果多項式的各項沒有公因式,則考慮是否能用公式法來分解；
（3） 對於二次三項式的因式分解,可考慮用十字相乘法分解；
（4） 對於多於三項的多項式,一般應考慮使用分組分解法進行.
在進行因式分解時,要結合題目的形式和特點來選擇確定採用哪種方法.以上這四種方法是彼此有聯絡的,並不是一種型別的多項式就只能用一種方法來分解因式,要學會具體問題具體分析.
在我們做題時,可以參照下面的口訣：
首先提取公因式,然後考慮用公式；
十字相乘試一試,分組分得要合適；
四種方法反覆試,最後須是連乘式.1．雙十字相乘法
分解二次三項式時,我們常用十字相乘法．對於某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式．
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列,並把y當作常數,於是上式可變形為
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是關於x的二次三項式．
對於常數項而言,它是關於y的二次三項式,也可以用十字相乘法,分解為
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法對關於x的二次三項式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的過程,實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合併在一起,可得到下圖：
它表示的是下面三個關係式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
這就是所謂的雙十字相乘法．
用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；
(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上,要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey,第一、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2項,可把這一項的係數看成0來分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
說明 (4)中有三個字母,解法仍與前面的類似．
2．求根法
我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的一元多項式,並用f(x),g(x),…等記號表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
當x=a時,多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根．
定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根,即f(a)=0成立,則多項式f(x)有一個因式x-a．
根據因式定理,找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對於任意多項式f(x),要求出它的根是沒有一般方法的,然而當多項式f(x)的係數都是整數時,即整係數多項式時,經常用下面的定理來判定它是否有有理根．
十字相乘法——藉助畫十字交叉線分解係數,從而把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法.
十字相乘法是二次三項式分解因式的一種常用方法,它是先將二次三項式 的二次項係數a及常數項c都分解為兩個因數的乘積（一般會有幾種不同的分法）
然後按斜線交叉相乘、再相加,若有 ,則有 ,否則,需交換 的位置再試,若仍不行,再換另一組,用同樣的方法試驗,直到找到合適的為止.
3.因式分解的一般步驟
（1） 如果多項式的各項有公因式時,應先提取公因式；
（2） 如果多項式的各項沒有公因式,則考慮是否能用公式法來分解；
（3） 對於二次三項式的因式分解,可考慮用十字相乘法分解；
（4） 對於多於三項的多項式,一般應考慮使用分組分解法進行.
在進行因式分解時,要結合題目的形式和特點來選擇確定採用哪種方法.以上這四種方法是彼此有聯絡的,並不是一種型別的多項式就只能用一種方法來分解因式,要學會具體問題具體分析.
在我們做題時,可以參照下面的口訣：
首先提取公因式,然後考慮用公式；
十字相乘試一試,分組分得要合適；
四種方法反覆試,最後須是連乘式.1．雙十字相乘法
分解二次三項式時,我們常用十字相乘法．對於某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式．
例如,分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列,並把y當作常數,於是上式可變形為
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是關於x的二次三項式．
對於常數項而言,它是關於y的二次三項式,也可以用十字相乘法,分解為
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法對關於x的二次三項式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的過程,實施了兩次十字相乘法．如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合併在一起,可得到下圖：
它表示的是下面三個關係式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
這就是所謂的雙十字相乘法．
用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；
(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上,要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey,第一、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2項,可把這一項的係數看成0來分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
說明 (4)中有三個字母,解法仍與前面的類似．
2．求根法
我們把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n為非負整數)的代數式稱為關於x的一元多項式,並用f(x),g(x),…等記號表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,…,
當x=a時,多項式f(x)的值用f(a)表示．如對上面的多項式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根．
定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根,即f(a)=0成立,則多項式f(x)有一個因式x-a．
根據因式定理,找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根．對於任意多項式f(x),要求出它的根是沒有一般方法的,然而當多項式f(x)的係數都是整數時,即整係數多項式時,經常用下面的定理來判定它是否有有理根．