從近幾年行測考試來看，容斥問題的考察難度並不是很大，屬於無論數學基礎如何都應該能夠掌握，在考試中拿分的題型。容斥問題最關鍵的就是理解充斥問題中各種描述的量的概念，而這些概念在我們的文氏圖中都是可以一一對應的，所以今天中公教育以深度理解文氏圖為著手點，搞定所有的容斥問題。
兩者容斥
【理論講解】
1.理解兩者容斥文氏圖中的各個區域含義。
例：一個班級喜歡美術的有35人，喜歡音樂的有34人。兩個都喜歡的有10人，都不喜歡的有4人。
這是一段材料我們可以這樣來畫文氏圖表示這個班級有關此種分類的情況。
紅圈表示喜歡美術的人，綠圈表示喜歡音樂的人。整個方框I代表全班的人。
那我們來分析分析以下區域所對應的實際概念應該是什麼。
例子：①+②：喜歡美術的人
① ：
② ：
④ ：
①+② ：
①+④ ：
中公解析：
① ：只喜歡美術的人(喜歡美術但不喜歡音樂)
② ：美術和音樂都喜歡的人(同時喜歡兩項的人)
④ ：既不喜歡美術又不喜歡音樂的人(兩項都不喜歡的人)
①+② ：喜歡美術的人(可能喜歡音樂也可能不喜歡音樂)
①+④ ：不喜歡音樂的人(只喜歡音樂的+都不喜歡的人)
搞清楚以上含義以後，我們就能靈活應對題目中的條件和容斥不重不漏的原則解決我們的容斥問題了。
2. 解題原則：不重不漏。
文氏圖中每個區域只能被計算一次。
我們現在想要用已知條件拼湊出整體I，喜歡美術的人是A，喜歡音樂的人是B，都喜歡是①，都不喜歡的是④。A+B屬於A區域面積加上B區域面積，但是A和B都包括了①，所以①被計算了兩次要減掉一次。那我們用A+B-①+④即=I。
①也可以表示成A⋂B，④我們通常用M表示。
即： A+B-A⋂B+M=I
【例題實戰】
1.一個班級喜歡美術的有35人，喜歡音樂的有34人。兩個都喜歡的有3人，不喜歡的有4人。求這個班級一共有多少人?
求解：35+34-3+4=70人。
三者容斥
1.理解三者容斥中各部分概念
例：補上C為喜歡體育的人
填充為藍色的是：喜歡兩種課程的人
黑色的是：喜歡三種課程的人
藍色+黑色是：喜歡不只一種課程的人(一種以上)
最上方的藍色：同時喜歡美術A和音樂B但不喜歡體育C的
2.不重不漏
(1)如果我們用A+B+C來計算有至少喜歡一種課程的人數的話，藍色部分即被計算了兩次，要扣除一次做到不重複;黑色部分即被計算了三次，要扣除兩次做到不重複。通常我們用M表示④區域，即三種課程都不喜歡的人。
即得到
A+B+C-只喜歡兩種課程的人-2*喜歡三種課程的人+M=I(全班人數)
(2)若題目中只給了A、B、C和同時喜歡AB、同時喜歡BC、同時喜歡AC的人和同時喜歡ABC的和都不喜歡的人數。我們可以表示成：
A+B+C-A⋂B-A⋂C-B⋂C+A⋂B⋂C+M=I
因為A⋂B⋂C在被計算了三次，在中被減掉了三次，相當於沒有納入計算，要加回來。
容斥極值問題
容斥極值問題是問多個集合的全部集合共同交集的最小值(A⋂B、A⋂B⋂C的最小值)。我們直接記憶公式：
1、兩者容斥極值:(A⋂B)min = A+B-I
2、三者容斥極值(A⋂B⋂C)min = A+B+C-2I
以此類推可得其他容斥問題極值：
四者容斥極值：(A⋂B⋂C⋂D)min = A+B+C+D-3I
例題實戰
1.一個班級40人喜歡美術的有35人，喜歡音樂的有34人，喜歡體育的15人。請問同時喜歡美術、體育、音樂的人最多有多少?最少有多少?
一、最多
若要使同時喜歡三項的人最多，那就儘量讓他們出現興趣出現重疊。那讓人數最少的喜歡體育的人全部喜歡音樂，此時15人同時喜歡體育和音樂。再讓這些人也全部喜歡美術。此時同時喜歡三項的人最多，即15人。
其實沒有其他限定條件是，(A⋂B⋂C)max即為三者中最小的一個。
二、最少
代入公式中：(A⋂B⋂C)min=35+34+15-2*40=4人
容斥問題整體比較簡單，出題空間較小。無論考生基礎好壞，在理解概念後，再做適量的練習題加深理解鞏固知識後都可以掌握此類題型的題目。做到考場不因容斥題型而失分。在前期做題時，一定要多畫圖，幫助解題和理解容斥類題型。做了一定題目後可能做到“紙上無圖，心中有圖”的境界後，定能快速解決這一型別的所有題目。
從近幾年行測考試來看，容斥問題的考察難度並不是很大，屬於無論數學基礎如何都應該能夠掌握，在考試中拿分的題型。容斥問題最關鍵的就是理解充斥問題中各種描述的量的概念，而這些概念在我們的文氏圖中都是可以一一對應的，所以今天中公教育以深度理解文氏圖為著手點，搞定所有的容斥問題。
兩者容斥
【理論講解】
1.理解兩者容斥文氏圖中的各個區域含義。
例：一個班級喜歡美術的有35人，喜歡音樂的有34人。兩個都喜歡的有10人，都不喜歡的有4人。
這是一段材料我們可以這樣來畫文氏圖表示這個班級有關此種分類的情況。
紅圈表示喜歡美術的人，綠圈表示喜歡音樂的人。整個方框I代表全班的人。
那我們來分析分析以下區域所對應的實際概念應該是什麼。
例子：①+②：喜歡美術的人
① ：
② ：
④ ：
①+② ：
①+④ ：
中公解析：
① ：只喜歡美術的人(喜歡美術但不喜歡音樂)
② ：美術和音樂都喜歡的人(同時喜歡兩項的人)
④ ：既不喜歡美術又不喜歡音樂的人(兩項都不喜歡的人)
①+② ：喜歡美術的人(可能喜歡音樂也可能不喜歡音樂)
①+④ ：不喜歡音樂的人(只喜歡音樂的+都不喜歡的人)
搞清楚以上含義以後，我們就能靈活應對題目中的條件和容斥不重不漏的原則解決我們的容斥問題了。
2. 解題原則：不重不漏。
文氏圖中每個區域只能被計算一次。
我們現在想要用已知條件拼湊出整體I，喜歡美術的人是A，喜歡音樂的人是B，都喜歡是①，都不喜歡的是④。A+B屬於A區域面積加上B區域面積，但是A和B都包括了①，所以①被計算了兩次要減掉一次。那我們用A+B-①+④即=I。
①也可以表示成A⋂B，④我們通常用M表示。
即： A+B-A⋂B+M=I
【例題實戰】
1.一個班級喜歡美術的有35人，喜歡音樂的有34人。兩個都喜歡的有3人，不喜歡的有4人。求這個班級一共有多少人?
求解：35+34-3+4=70人。
三者容斥
【理論講解】
1.理解三者容斥中各部分概念
例：補上C為喜歡體育的人
填充為藍色的是：喜歡兩種課程的人
黑色的是：喜歡三種課程的人
藍色+黑色是：喜歡不只一種課程的人(一種以上)
最上方的藍色：同時喜歡美術A和音樂B但不喜歡體育C的
2.不重不漏
(1)如果我們用A+B+C來計算有至少喜歡一種課程的人數的話，藍色部分即被計算了兩次，要扣除一次做到不重複;黑色部分即被計算了三次，要扣除兩次做到不重複。通常我們用M表示④區域，即三種課程都不喜歡的人。
即得到
A+B+C-只喜歡兩種課程的人-2*喜歡三種課程的人+M=I(全班人數)
(2)若題目中只給了A、B、C和同時喜歡AB、同時喜歡BC、同時喜歡AC的人和同時喜歡ABC的和都不喜歡的人數。我們可以表示成：
A+B+C-A⋂B-A⋂C-B⋂C+A⋂B⋂C+M=I
因為A⋂B⋂C在被計算了三次，在中被減掉了三次，相當於沒有納入計算，要加回來。
容斥極值問題
容斥極值問題是問多個集合的全部集合共同交集的最小值(A⋂B、A⋂B⋂C的最小值)。我們直接記憶公式：
1、兩者容斥極值:(A⋂B)min = A+B-I
2、三者容斥極值(A⋂B⋂C)min = A+B+C-2I
以此類推可得其他容斥問題極值：
四者容斥極值：(A⋂B⋂C⋂D)min = A+B+C+D-3I
例題實戰
1.一個班級40人喜歡美術的有35人，喜歡音樂的有34人，喜歡體育的15人。請問同時喜歡美術、體育、音樂的人最多有多少?最少有多少?
一、最多
若要使同時喜歡三項的人最多，那就儘量讓他們出現興趣出現重疊。那讓人數最少的喜歡體育的人全部喜歡音樂，此時15人同時喜歡體育和音樂。再讓這些人也全部喜歡美術。此時同時喜歡三項的人最多，即15人。
其實沒有其他限定條件是，(A⋂B⋂C)max即為三者中最小的一個。
二、最少
代入公式中：(A⋂B⋂C)min=35+34+15-2*40=4人
容斥問題整體比較簡單，出題空間較小。無論考生基礎好壞，在理解概念後，再做適量的練習題加深理解鞏固知識後都可以掌握此類題型的題目。做到考場不因容斥題型而失分。在前期做題時，一定要多畫圖，幫助解題和理解容斥類題型。做了一定題目後可能做到“紙上無圖，心中有圖”的境界後，定能快速解決這一型別的所有題目。