a²+a-42首先，我們看看第一個數，是a²，代表是兩個a相乘得到的，則推斷出(a + ？）×(a -？），然後我們再看第二項，+a 這種式子是經過合併同類項以後得到的結果，所以推斷出是兩項式×兩項式。再看最後一項是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。首先，21和2無論正負，透過任意加減後都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除後者。然後，再確定是-7×6還是7×-6。(a+(-7)）×(a+6）=a²x²-ax-42(計算過程省略）得到結果與原來結果不相符，原式+a 變成了-a。再算：(a×7）×(a×(-6））=a²+a-42正確，所以a²+a-42就被分解成為(a+7）×(a-6），這就是通俗的十字分解法分解因式。具體應用雙十字分解法是一種因式分解方法。對於型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多項式的因式分解，常採用的方法是待定係數法。這種方法運算過程較繁。對於這問題，若採用“雙十字分解法”(主元法），就能很容易將此型別的多項式分解因式。例：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1）(3x-y+4）因為3=1×3，-2=2×(-1），－4=(-1）×4，而1×(-1）+3×2=5，2×4+(-1）(－1）=9，1×4+3×(－1）=1要訣：把缺少的一項當作係數為0，0乘任何數得0，例：ab+b²+a－b－2=0×1×a²+ab+b²+a－b－2=(0×a+b+1）(a+b－2）=(b+1）(a+b－2）提示：設x²=y，用拆項法把cx²拆成mx²與ny之和。例：2x^4+13x^3+20x²+11x+2=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2=(2y+3x+1）(y+5x+2）=(2x²+3x+1）(x²+5x+2）=(x+1）(2x+1）(x²+5x+2）分解二次三項式時，我們常用十字分解法．對於某些二元二次六項式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f），我們也可以用十字分解法分解因式。例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，並把y當作常數，於是上式可變形為2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3），可以看作是關於x的二次三項式．對於常數項而言，它是關於y的二次三項式，也可以用十字分解法，分解為即-22y²+35y-3=(2y+3）(-11y-1）．再利用十字分解法對關於x的二次三項式分解所以原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕=(x+2y-3）(2x-11y+1）．(x+2y）(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3）(2x+1）=2x2-5x-3；(2y-3）(-11y+1）=-22y²+35y-3．這就是所謂的雙十字分解法．也是俗稱的“主元法”用雙十字分解法對多項式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：⑴用十字分解法分解ax²+bxy+cy²，得到一個十字相乘圖(有兩列）；⑵把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第一列、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．我們把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n為非負整數）的代數式稱為關於x的一元多項式，並用f(x），g(x），…等記號表示，如f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，當x=a時，多項式f(x）的值用f(a）表示．如對上面的多項式f(x)f⑴=12-3×1+2=0；f(-2）=(-2）²-3×(-2）+2=12．若f(a)=0，則稱a為多項式f(x）的一個根．定理1(因式定理） 若a是一元多項式f(x）的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x）至少有一個因式x-a．根據因式定理，找出一元多項式f(x）的一次因式的關鍵是求多項式f(x）的根．對於任意多項式f(x），要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x）的係數都是整數時，即整係數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根。怎樣進行分解因式例 7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、分析：該題雖然二次項係數不為1，但也可以用十字分解法進行因式分解。因為9y + 10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、 因式分解。分析：因為21x + (-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）例5、 因式分解。分析：該題可以將（x+2）看作一個整體來進行因式分解。因為-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]=（2x-1）（5x+8）例6、因式分解。分析：該題可以先將（）看作一個整體進行十字分解法分解，接著再套用一次十字相乘。因為-2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a解：原式=[-2][ -12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
a²+a-42首先，我們看看第一個數，是a²，代表是兩個a相乘得到的，則推斷出(a + ？）×(a -？），然後我們再看第二項，+a 這種式子是經過合併同類項以後得到的結果，所以推斷出是兩項式×兩項式。再看最後一項是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。首先，21和2無論正負，透過任意加減後都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除後者。然後，再確定是-7×6還是7×-6。(a+(-7)）×(a+6）=a²x²-ax-42(計算過程省略）得到結果與原來結果不相符，原式+a 變成了-a。再算：(a×7）×(a×(-6））=a²+a-42正確，所以a²+a-42就被分解成為(a+7）×(a-6），這就是通俗的十字分解法分解因式。具體應用雙十字分解法是一種因式分解方法。對於型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多項式的因式分解，常採用的方法是待定係數法。這種方法運算過程較繁。對於這問題，若採用“雙十字分解法”(主元法），就能很容易將此型別的多項式分解因式。例：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1）(3x-y+4）因為3=1×3，-2=2×(-1），－4=(-1）×4，而1×(-1）+3×2=5，2×4+(-1）(－1）=9，1×4+3×(－1）=1要訣：把缺少的一項當作係數為0，0乘任何數得0，例：ab+b²+a－b－2=0×1×a²+ab+b²+a－b－2=(0×a+b+1）(a+b－2）=(b+1）(a+b－2）提示：設x²=y，用拆項法把cx²拆成mx²與ny之和。例：2x^4+13x^3+20x²+11x+2=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2=(2y+3x+1）(y+5x+2）=(2x²+3x+1）(x²+5x+2）=(x+1）(2x+1）(x²+5x+2）分解二次三項式時，我們常用十字分解法．對於某些二元二次六項式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f），我們也可以用十字分解法分解因式。例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我們將上式按x降冪排列，並把y當作常數，於是上式可變形為2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3），可以看作是關於x的二次三項式．對於常數項而言，它是關於y的二次三項式，也可以用十字分解法，分解為即-22y²+35y-3=(2y+3）(-11y-1）．再利用十字分解法對關於x的二次三項式分解所以原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕=(x+2y-3）(2x-11y+1）．(x+2y）(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3）(2x+1）=2x2-5x-3；(2y-3）(-11y+1）=-22y²+35y-3．這就是所謂的雙十字分解法．也是俗稱的“主元法”用雙十字分解法對多項式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：⑴用十字分解法分解ax²+bxy+cy²，得到一個十字相乘圖(有兩列）；⑵把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第一列、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx．我們把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n為非負整數）的代數式稱為關於x的一元多項式，並用f(x），g(x），…等記號表示，如f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，當x=a時，多項式f(x）的值用f(a）表示．如對上面的多項式f(x)f⑴=12-3×1+2=0；f(-2）=(-2）²-3×(-2）+2=12．若f(a)=0，則稱a為多項式f(x）的一個根．定理1(因式定理） 若a是一元多項式f(x）的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x）至少有一個因式x-a．根據因式定理，找出一元多項式f(x）的一次因式的關鍵是求多項式f(x）的根．對於任意多項式f(x），要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x）的係數都是整數時，即整係數多項式時，經常用下面的定理來判定它是否有有理根。怎樣進行分解因式例 7x + (-8x) =-x解：原式=（x+7）（x-8）例2-2x+（-8x）=-10x解：原式=（x-2）（x-8）例3、分析：該題雖然二次項係數不為1，但也可以用十字分解法進行因式分解。因為9y + 10y=19y解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、 因式分解。分析：因為21x + (-18x)=3x解：原式=（2x+3）（7x-9）例5、 因式分解。分析：該題可以將（x+2）看作一個整體來進行因式分解。因為-25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2）解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]=（2x-1）（5x+8）例6、因式分解。分析：該題可以先將（）看作一個整體進行十字分解法分解，接著再套用一次十字相乘。因為-2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +（-4a）=-a解：原式=[-2][ -12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)