素數是指在大於1的自然數中，除了1和該數自身外，無法被其他自然數整除的數（也可定義為只有1與該數本身兩個正因數的數）。

大於1的自然數若不是素數，則稱之為合數（也稱為合成數）。

算術基本定理確立了素數於數論裡的核心地位：任何大於1的整數均可被表示成一串唯一素數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是素數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效約數分解）。

質數的性質：

1、如果 為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。

因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。

2、其他數學家給出了一些不同的證明。尤拉利用黎曼函式證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，哈里·弗斯滕伯格則用拓撲學加以證明。

合數性質：

1.所有大於2的偶數都是合數。

2.所有大於5的奇數中，個位為5的都是合數。

3.除0以外，所有個位為0的自然數都是合數。

4.所有個位為4，6，8的自然數都是合數。

5.最小的（偶）合數為4，最小的奇合數為9。

6.每一個合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積，即分解質因數。(算術基本定理)