一般地說， n 階微分方程的解含有 n 個任意常數。 也就是說，微分方程的解中含有任意常數的個數和方程的解數相同， 這種解叫做微分方程的通解。 通解構成一個函式族。 如果根據實際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來， 那麼求這種解的問題叫做定解問題， 對於一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。 對於高階微分方程可以引入新的未知函式， 把它化為多個一階微分方程組。 常微分方程的特點 常微分方程的概念、 解法、 和其它理論很多， 比如， 方程和方程組的種類及解法、 解的存在性和唯一性、 奇解、 定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下， 以瞭解常微分方程的特點。 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標， 一旦求出通解的表示式， 就容易從中得到問題所需要的特解。 也可以由通解的表示式， 瞭解對某些引數的依賴情況， 便於引數取值適宜， 使它對應的解具有所需要的效能， 還有助於進行關於解的其他研究。 後來的發展表明， 能夠求出通解的情況不多， 在實際應用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。 當然， 通解是有助於研究解的屬性的， 但是人們已把研究重點轉移到定解問題上來。 一個常微分方程是不是有特解呢？ 如果有， 又有幾個呢？ 這是微分方程論中一個基本的問題， 數學家把它歸納成基本定理， 叫做存在和唯一性定理。 因為如果沒有解， 而我們要去求解， 那是沒 有意義的； 如果有解而又不是唯一的， 那又不好確定。 因此， 存在和唯一性定理對於微分方程的求解是十分重要的。 大部分的常微分方程求不出十分精確的解， 而只能得到近似解。當然， 這個近似解的精確程度是比較高的。 另外還應該指出， 用來描述物理過程的微分方程， 以及由試驗測定的初始條件也是近似的， 這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。 現在， 常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用， 自動控制、各種電子學裝置的設計、 彈道的計算、 飛機和導彈飛行的穩定性的研究、 化學反應過程穩定性的研究等。 這些問題都可以化為求常微分方程的解， 或者化為研究解的性質的問題。 應該說， 應用常微分方程理論已經取得了很大的成就， 但是， 它的現有理論也還遠遠不能滿足需要， 還有待於進一步的發展， 使這門學科的理論更加完善。 第四講 常微分方程的思想方法 三、 常微分方程的思想方法 數學思想是對數學知識的本質認識， 是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點, 它在認識活動中被反覆運用, 帶有普遍的指導意義, 是建立數學以及應用數學解決問題的指導思想。 數學方法是指提出問題、 解決問題過程 中所採用的各種方式...