正五面體？請看看下面的文章：

平面圖形裡有正三角形，三維空間裡有正四面體（四個頂點，四個面，六條稜），那麼進一步問，有沒有正五面體？

實際上，三維空間中只存在五種正多面體，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。可以透過尤拉定理得出該結論。

尤拉定理如下：如果一個凸多面體的頂點數是v、稜數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關係：

v - e + f = 2 ①

正多面體的每個面都是正多邊形，不妨把邊數記為n，而且

n ≥ 3 ②

同時，由於每條稜都屬於兩個面，故多面體的面數和稜數有以下關係：

每個頂點都是由多條稜相交而成，不妨把與每個頂點相接的稜數記為r。由於頂點是多面體中的頂點，故

r ≥ 3 ④

否則由兩條稜相交的頂點只能是平面圖形中的頂點。同時，由於每條稜都連線兩個頂點，故多面體的頂點數和稜數有以下關係：

rv = 2e ⑤

2e/r - e + 2e/n = 2，

等式兩邊同時除以2e可以得到：

1/r - 1/2 + 1/n = 1/e，

即

1/r + 1/n = 1/e + 1/2 ⑥

由於一個正多面體的稜數e至少是6（想想這是為什麼），所以⑥式右邊最大值為

1/6 + 1/2 = 2/3，

同時，由於稜數e為正數，不論e取何值，⑥式右邊一定大於1/2，即

1/2 ＜ ⑥式右邊 ≤ 2/3 ⑦

⑴ r ≥ 4時，由於不能同時滿足n ≥ 4，而n ≥ 3又必須滿足，故此時n = 3。代入⑥式，得1/r = 1/e + 1/6。由於1/r = 1/e + 1/6 ＞ 1/6，故r ＜ 6，故r只能取3、4、5。r = 3，n = 3時代入⑥式和③式得f = 4，此時是一個正四面體；r = 4，n = 3時有f = 8，此時是一個正八面體；r = 5，n = 3時有f = 20，此時是一個正二十面體。

⑵ 與⑴類似，n ≥ 4時，由於不能同時滿足r ≥ 4，而r ≥ 3又必須滿足，故此時r = 3。同理可得n只能取3、4、5。r = 3，n = 3時代入⑥式和③式得f = 4，此時是一個正四面體；r = 3，n = 4時有f = 6，此時是一個正六面體（即立方體）；r = 3，n = 5時有f = 20，此時是一個正十二面體。

⑶ r ≥ 4，n ≥ 4都不滿足的時候，又由於r ≥ 3，n ≥ 3，故只能有r = 3，n = 3，此時f = 4，是一個正四面體。

由以上證明可知，三維空間中只存在五種正多面體，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，當然也就不存在正五面體。