韓信點兵的數學解法
中國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次按1～3報數，第二次按1～5報數，第三次按1～7報數，每次報數後都要求最後一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。他的這種巧妙演算法，人們稱為“鬼谷算”、 “隔牆算”、“秦王暗點兵”等。
這種問題在《孫子算經》中也有記載：“今有物不知其數：三三數之餘二，五五數之餘三，七七數之餘二，問物幾何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3個3個的數，最後剩2個；如果5個5個的數，最後剩3個；如果7個7個的數，最後剩2個；求這些物品一共有多少？人們通常把這個問題叫作“孫子問題”， 西方數學家把它稱為“中國剩餘定理”。現在，這個問題已成為世界數學史上著名的問題。
到了明代，數學家程大位把這個問題的演算法編成了四句歌訣：
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝；
七子團圓正半月，除百零五便得知。
用現在的話來說就是：一個數用3除，除得的餘數乘70；用5除，除得的餘數乘21；用7除，除得的餘數乘15。最後把這些乘積加起來再減去105的倍數，就知道這個數是多少。
《孫子算經》中這個問題的演算法是：
70×2＋21×3＋15×2＝233
233－105－105＝23
所以這些物品最少有23個。
根據上面的演算法，韓信點兵時，必須先知道部隊的大約人數，否則他也是無法準確算出人數的。你知道這是怎麼回事嗎？
這是因為，
被5、7整除，而被3除餘1的最小正整數是70；
被3、7整除，而被5除餘1的最小正整數是21；
被3、5整除，而被7除餘1的最小正整數是15。
所以，這三個數的和是15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2的性質。
以上解法的道理在於：
被3、5整除，而被7除餘1的最小正整數是15；
被5、7整除，而被3除餘1的最小正整數是70。
因此，被3、5整除，而被7除餘2的最小正整數是 15×2＝30；
被3、7整除，而被5除餘3的最小正整數是 21×3＝63；
被5、7整除，而被3除餘2的最小正整數是 70×2＝140。
於是和數15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2的性質。但所得結果233（30＋63＋140＝233）不一定是滿足上述性質的最小正整數，故從它中減去3、5、7的最小公倍數105的若干倍，直至差小於105為止，即 233－105－105＝23。所以23就是被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2的最小正整數。
韓信點兵的數學解法
中國漢代有一位大將，名叫韓信。他每次集合部隊，都要求部下報三次數，第一次按1～3報數，第二次按1～5報數，第三次按1～7報數，每次報數後都要求最後一個人報告他報的數是幾，這樣韓信就知道一共到了多少人。他的這種巧妙演算法，人們稱為“鬼谷算”、 “隔牆算”、“秦王暗點兵”等。
這種問題在《孫子算經》中也有記載：“今有物不知其數：三三數之餘二，五五數之餘三，七七數之餘二，問物幾何?” 它的意思就是，有一些物品，如果3個3個的數，最後剩2個；如果5個5個的數，最後剩3個；如果7個7個的數，最後剩2個；求這些物品一共有多少？人們通常把這個問題叫作“孫子問題”， 西方數學家把它稱為“中國剩餘定理”。現在，這個問題已成為世界數學史上著名的問題。
到了明代，數學家程大位把這個問題的演算法編成了四句歌訣：
三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝；
七子團圓正半月，除百零五便得知。
用現在的話來說就是：一個數用3除，除得的餘數乘70；用5除，除得的餘數乘21；用7除，除得的餘數乘15。最後把這些乘積加起來再減去105的倍數，就知道這個數是多少。
《孫子算經》中這個問題的演算法是：
70×2＋21×3＋15×2＝233
233－105－105＝23
所以這些物品最少有23個。
根據上面的演算法，韓信點兵時，必須先知道部隊的大約人數，否則他也是無法準確算出人數的。你知道這是怎麼回事嗎？
這是因為，
被5、7整除，而被3除餘1的最小正整數是70；
被3、7整除，而被5除餘1的最小正整數是21；
被3、5整除，而被7除餘1的最小正整數是15。
所以，這三個數的和是15×2＋21×3＋70×2，必然具有被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2的性質。
以上解法的道理在於：
被3、5整除，而被7除餘1的最小正整數是15；
被3、7整除，而被5除餘1的最小正整數是21；
被5、7整除，而被3除餘1的最小正整數是70。
因此，被3、5整除，而被7除餘2的最小正整數是 15×2＝30；
被3、7整除，而被5除餘3的最小正整數是 21×3＝63；
被5、7整除，而被3除餘2的最小正整數是 70×2＝140。
於是和數15×2＋21×3＋70×2，必具有被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2的性質。但所得結果233（30＋63＋140＝233）不一定是滿足上述性質的最小正整數，故從它中減去3、5、7的最小公倍數105的若干倍，直至差小於105為止，即 233－105－105＝23。所以23就是被3除餘2，被5除餘3，被7除餘2的最小正整數。