∫(0-π/2)lncosxdx=- π ln2 / 2。

解答過程如下：

I = ∫ [0,π/2] lncosx dx = ∫ [0,π/2] lnsinx dx

= ∫ [0,π/4] lncosx dx + ∫ [π/4,π/2] lncosx dx

利用下式：

∫ [0,π/4] lnsinx dx

= ∫ [0,π/4] lncos(π/2 -x) dx 令 u = π/2 -x

= ∫ [π/2,π/4] lncosu (-1)du

= ∫ [π/4,π/2] lncosu du

I = ∫ [0,π/4] lncosx dx + ∫ [0,π/4] lnsinx dx = ∫ [0,π/4] 【lncosx + lnsinx】 dx

= ∫ [0,π/4] ln (1/2) sin2x dx

= - π ln2 / 4 + (1/2) ∫ [0,π/2] lnsinu du 令 u = 2x

= - π ln2 / 4 + (1/2) I

I = - π ln2 / 2

擴充套件資料：

分部積分：

(uv)"=u"v+uv"

得：u"v=(uv)"-uv"

兩邊積分得：∫ u"v dx=∫ (uv)" dx - ∫ uv" dx

即：∫ u"v dx = uv - ∫ uv" d,這就是分部積分公式

也可簡寫為：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用積分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c