這是哈市的中考模擬題，可以說是難破天際，不過不要害怕，我們一起來慢慢分析吧。
分析：題目給了拋物線的解析式，於是A，B，C三點座標都是已知的，D是第四象限拋物線上一點，E是CD與x軸的交點，F是CD關於BC的對稱直線與拋物線的交點，P是直線EF與AD的交點，注意E，F，P三點都是和點D有關聯的，直線CD確定點E，直線CD的對稱直線CD"確定點F，直線EF和AD再確定點P，因此一旦點D確定了他們三個點就都確定了。最後還要滿足∠APF+∠BDC=90°的條件，顯然只有某些特殊情形下才會符合這個要求，這個條件我們可以利用外角的性質轉成∠CEF+∠ADB=90°，這樣就不關點P什麼事了，進一步考慮互餘關係我們可以把他轉成兩個三角形的相似問題，從而找到等量關係求出符合題意的點D的座標。分析以上條件我們很容易想到設座標來解決問題，注意到點F是對稱後的直線與拋物線的交點，我們知道涉及求兩個圖象的交點座標問題，主要是透過聯立兩個圖象的函式解析式來求解，那麼想要找點F的座標就不可避免的涉及到代數計算，因此我們可以確定本題主要是運用解析法來解答的。
我們再回到求點F的座標的問題，如果我們設的是點D的座標，然後求出直線CD和其對稱直線CD"的解析式，由於這樣表示出的直線解析式稍顯複雜，再聯立拋物線求點F的座標會讓計算變得比較複雜，求出的點F的座標也會很複雜，這樣我們之後的計算就更困難了。當然這樣也是可以解的，設點D，座標計算如下圖（過程略，轉強哥的圖）：
注意到直線BC的k=-1，那麼直線CD"和直線CD的斜率互為倒數關係，而點C已知，知道直線解析式也就能求點D和點F了。所以我們設CD的斜率為k，則直線OD"的斜率為1/k，再結合點C表示出CD，CD"的解析式，再聯立拋物線求出D和F的座標就可以了，這樣表示出的座標會簡潔一些，自然對之後的計算也會有利。不過我們感覺即使這樣計算還是有些複雜，有沒有進一步簡化的方法呢？結合已知，由於所求圖形是固定的，我們可以將整個圖形向下移動三個單位使點C移動到原點，C與O重合，此時OD，OD"以及拋物線的解析式都會變得更加簡潔，這樣對我們後邊的計算更加有利，只不過最後計算完我們再把得到的座標向上移動三個單位就好了。
解答：先將原題中的圖形整體下移三個單位，使C與O重合，如圖所示。平移後的拋物線解析式為y=-x²+2x，直線OB的解析式為y=-x。
設直線OD斜率為k（k＜-1），則直線OD"斜率為1/k，表示出OD和OD"的解析式，求出點E的座標，再把直線OD，OD"分別和拋物線聯立求得點D，點F的座標。
過點A作AG⊥AD交BD於點G，過點O作OH⊥OD交EF於點H。
∵∠APF=∠PED+∠PDE=∠OEF+∠PDE（三角形外角的性質）
∴∠OEF+∠PDE+∠BDO=∠OEF+∠ADB=90°，
∴cot∠OEF=tan∠ADB。
（構造K型圖，利用相似轉化三角形函式的比，轉化成水平豎直方向上的線段比）
接下來我們利用OJ/HI=GK/AL這個比例來計算k，其中OJ和AL已經可以表示出了，顯然要表示HI和GK還需要計算出點G和點H的橫座標，計算點H需要聯立直線OH和EH的解析式，計算點G需要聯立直線AG和BD的解析式，因此先得算出OH，EH，AG，BD的解析式，直線解析式的計算請讀者自行完成，最後聯立方程解得G，H的橫座標。
（是不是感覺有點恐怖，不過還是可以繼續進行計算的）
化簡整理得 3k⁴-5k³-16k²+10k-4=0，
（這個時候非常考驗小夥伴們因式分解的功底了）
拆項得 3k⁴-5k³-22k²+6k²+10k-4=0，
⇒ k²(3k²-5k-22)+(6k²+10k-4)=0
十字相乘得 k²(3k-11)(k+2)+(6k-2)(k+2)=0
提公因式得 (k+2)(3k³-11k²+6k-2)=0
由於點D在直線y=-x的下方，所以k＜-1，
當k＜-1時，3k³-11k²+6k-2＜0，即≠0
∴k+2=0，k=-2，代入得D(4,-8)，
再向上平移三個單位得原題中的D(4,-5).
點評：本題是以二次函式為背景的角度互餘問題，其中還要經過一次直線的對稱，對稱後的直線和拋物產生一個交點，而互餘的兩個角與對稱前後的直線都有關聯，不管怎麼做都繞不開求點F的座標，因此條件裡的對稱導致的互餘關係非常難轉化。於是先用一次外角把互餘關係放到更容易思考的位置上來，再想著設座標的方法，算出對稱前後產生的直線解析式，座標等，然後透過三角函式尋找等量關係，為了儘量切合初中知識範疇，最終透過構造K型相似的方法確定了等量關係。
此解法在求解析式和座標的過程中涉及複雜的分式的計算，因式分解等，最後得到一個四次方程，透過因式分解和k的範圍確定了k的值。很多地方還是有些超出了初中學生的能力範圍，筆者暫時也沒有想到特別簡潔的解法，這也算是基本控制在初中知識範圍內的一種解法了。
這是哈市的中考模擬題，可以說是難破天際，不過不要害怕，我們一起來慢慢分析吧。
分析：題目給了拋物線的解析式，於是A，B，C三點座標都是已知的，D是第四象限拋物線上一點，E是CD與x軸的交點，F是CD關於BC的對稱直線與拋物線的交點，P是直線EF與AD的交點，注意E，F，P三點都是和點D有關聯的，直線CD確定點E，直線CD的對稱直線CD"確定點F，直線EF和AD再確定點P，因此一旦點D確定了他們三個點就都確定了。最後還要滿足∠APF+∠BDC=90°的條件，顯然只有某些特殊情形下才會符合這個要求，這個條件我們可以利用外角的性質轉成∠CEF+∠ADB=90°，這樣就不關點P什麼事了，進一步考慮互餘關係我們可以把他轉成兩個三角形的相似問題，從而找到等量關係求出符合題意的點D的座標。分析以上條件我們很容易想到設座標來解決問題，注意到點F是對稱後的直線與拋物線的交點，我們知道涉及求兩個圖象的交點座標問題，主要是透過聯立兩個圖象的函式解析式來求解，那麼想要找點F的座標就不可避免的涉及到代數計算，因此我們可以確定本題主要是運用解析法來解答的。
我們再回到求點F的座標的問題，如果我們設的是點D的座標，然後求出直線CD和其對稱直線CD"的解析式，由於這樣表示出的直線解析式稍顯複雜，再聯立拋物線求點F的座標會讓計算變得比較複雜，求出的點F的座標也會很複雜，這樣我們之後的計算就更困難了。當然這樣也是可以解的，設點D，座標計算如下圖（過程略，轉強哥的圖）：
注意到直線BC的k=-1，那麼直線CD"和直線CD的斜率互為倒數關係，而點C已知，知道直線解析式也就能求點D和點F了。所以我們設CD的斜率為k，則直線OD"的斜率為1/k，再結合點C表示出CD，CD"的解析式，再聯立拋物線求出D和F的座標就可以了，這樣表示出的座標會簡潔一些，自然對之後的計算也會有利。不過我們感覺即使這樣計算還是有些複雜，有沒有進一步簡化的方法呢？結合已知，由於所求圖形是固定的，我們可以將整個圖形向下移動三個單位使點C移動到原點，C與O重合，此時OD，OD"以及拋物線的解析式都會變得更加簡潔，這樣對我們後邊的計算更加有利，只不過最後計算完我們再把得到的座標向上移動三個單位就好了。
解答：先將原題中的圖形整體下移三個單位，使C與O重合，如圖所示。平移後的拋物線解析式為y=-x²+2x，直線OB的解析式為y=-x。
設直線OD斜率為k（k＜-1），則直線OD"斜率為1/k，表示出OD和OD"的解析式，求出點E的座標，再把直線OD，OD"分別和拋物線聯立求得點D，點F的座標。
過點A作AG⊥AD交BD於點G，過點O作OH⊥OD交EF於點H。
∵∠APF=∠PED+∠PDE=∠OEF+∠PDE（三角形外角的性質）
∴∠OEF+∠PDE+∠BDO=∠OEF+∠ADB=90°，
∴cot∠OEF=tan∠ADB。
（構造K型圖，利用相似轉化三角形函式的比，轉化成水平豎直方向上的線段比）
接下來我們利用OJ/HI=GK/AL這個比例來計算k，其中OJ和AL已經可以表示出了，顯然要表示HI和GK還需要計算出點G和點H的橫座標，計算點H需要聯立直線OH和EH的解析式，計算點G需要聯立直線AG和BD的解析式，因此先得算出OH，EH，AG，BD的解析式，直線解析式的計算請讀者自行完成，最後聯立方程解得G，H的橫座標。
（是不是感覺有點恐怖，不過還是可以繼續進行計算的）
化簡整理得 3k⁴-5k³-16k²+10k-4=0，
（這個時候非常考驗小夥伴們因式分解的功底了）
拆項得 3k⁴-5k³-22k²+6k²+10k-4=0，
⇒ k²(3k²-5k-22)+(6k²+10k-4)=0
十字相乘得 k²(3k-11)(k+2)+(6k-2)(k+2)=0
提公因式得 (k+2)(3k³-11k²+6k-2)=0
由於點D在直線y=-x的下方，所以k＜-1，
當k＜-1時，3k³-11k²+6k-2＜0，即≠0
∴k+2=0，k=-2，代入得D(4,-8)，
再向上平移三個單位得原題中的D(4,-5).
點評：本題是以二次函式為背景的角度互餘問題，其中還要經過一次直線的對稱，對稱後的直線和拋物產生一個交點，而互餘的兩個角與對稱前後的直線都有關聯，不管怎麼做都繞不開求點F的座標，因此條件裡的對稱導致的互餘關係非常難轉化。於是先用一次外角把互餘關係放到更容易思考的位置上來，再想著設座標的方法，算出對稱前後產生的直線解析式，座標等，然後透過三角函式尋找等量關係，為了儘量切合初中知識範疇，最終透過構造K型相似的方法確定了等量關係。
此解法在求解析式和座標的過程中涉及複雜的分式的計算，因式分解等，最後得到一個四次方程，透過因式分解和k的範圍確定了k的值。很多地方還是有些超出了初中學生的能力範圍，筆者暫時也沒有想到特別簡潔的解法，這也算是基本控制在初中知識範圍內的一種解法了。