複數概念的進化是數學史中最奇特的一章，那就是數系的歷史發展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續性。人們沒有等待實數的邏輯基礎建立之後，才去嘗試新的征程。在數系擴張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認識，而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經到達了遙遠的前哨陣地。

1545年，此時的歐洲人尚未完全理解負數、無理數，然而他們智力又面臨一個新的“怪物”的挑戰。例如卡丹在所著《重要的藝術》（1545）中提出一個問題：把10分成兩部分，使其乘積為40。這需要解方程x (10-x) = 40，他求得的根是5-√-15 和5+√-15，然後說“不管會受到多大的良心責備，”把5+√-15和5-√-15相乘，得到25-(-15)=40。於是他說，“算術就是這樣神妙地搞下去，它的目標，正如常言所說，是有精緻又不中用的。”笛卡爾（Descartes,1596-1650）也拋棄復根，並造出了“虛數”（imaginary number）這個名稱。對複數的模糊認識，萊布尼茲（Leibniz,1646- 1716）的說法最有代表性：“聖靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個理想世界的端兆，那個介於存在與不存在之間的兩棲物，那個我們稱之為虛的—1的平方根。”

直到18世紀，數學家們對複數才稍稍建立了一些信心。因為，不管什麼地方，在數學的推理中間步驟中用了複數，結果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）關於“代數基本定理”的證明必須依賴對複數的承認，從而使複數的地位得到了近一步的鞏固。當然，這並不是說人們對“複數”的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《論數學的研究和困難》中依然認為：

"……

已經證明了記號 是沒有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，透過這些記號，代數中極其有用的一部分便建立起來的，它依賴於一件必須用經驗來檢驗的事實，即代數的一般規則可以應用於這些式子（複數）。

……"

我們知道，18世紀是數學史上的“英雄世紀”，人們的熱情是如何發揮微積分的威力，去擴大數學的領地，沒有人會對實數系和複數系的邏輯基礎而操心。既然複數至少在運演算法則上還是直觀可靠的，那又何必去自找麻煩呢？

1797年，挪威的韋塞爾（C. Wessel,1745-1818） 寫了一篇論文“關於方向的分析表示”，試圖利用向量來表示複數，遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文後，才被人們重視。瑞士人阿甘達（J. Argand,1768-1822） 給出複數的一個稍微不同的幾何解釋。他注意到負數是正數的一個擴張，它是將方向和大小結合起來得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來擴張實數系？在使人們接受複數方面，高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為複平面上的一點 ( a,b），而且闡述了複數的幾何加法和乘法。他還說，如果1，-1 和 原來不稱為正、負和虛單位，而稱為直、反和側單位，那麼人們對這些數就可能不會產生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對虛數真正有一個新的看法，他引進術語“複數”（complex number）以與虛數相對立，並用 i 代替。

在澄清複數概念的工作中，愛爾蘭數學家哈米爾頓（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯，並不滿足於幾何直觀。他指出：複數a+ bi 不是 2 + 3意義上的一個真正的和，加號的使用是歷史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。複數a+ bi 只不過是實數的有序數對（a，b），並給出了有序數對的四則運算，同時，這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下，不僅複數被邏輯地建立在實數的基礎上，而且至今還有點神秘的-1的平方根也完全消除了