琴生不等式：（注意前提、等號成立條件）
設f(x)為上凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,稱為琴生不等式（冪平均）。
加權形式為：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
凸函式的概念：
【定義】如果函式f(x)滿足對定義域上任意兩個數x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那麼f(x)為凹函式，或下凸函式。
【定義】如果函式f(x)滿足對定義域上任意兩個數x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那麼f(x)為凸函式，或上凸函式。
同樣，如果不等式中等號只有x1=x2時才成立，我們分別稱它們為嚴格的凹凸函式
上面上凸下凸的名字我有可能記錯了。
琴生不等式說，
對於任意的凹函式f(x)以及其定義域上n個數x1,x2,...,xn,那麼都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
對於任意的凸函式f(x)以及其定義域上n個數x1,x2,...,xn,那麼都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n)
如果上面凹凸是嚴格的，那麼不等式的等號只有x1=x2=...=xn才成立
現在我們看看如何證明琴生不等式，下面只對凹函式加以證明。
首先我們對n是2的冪加以證明，用數學歸納法
假設對於n=2^k琴生不等式成立，那麼對於n=2^(k+1)
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
>=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以對於所有2的冪，琴生不等式成立。
現在對於一個普通的n,如果n不是2的冪，我們可以找到一個k,使得2^k>n
然後我們設
x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
代入2^k階的琴生不等式結論，整理後就可以得到結論。
現在看看如何使用琴生不等式證明平方平均不等式
(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
顯然，我們可以檢視函式f(x)=x^2
由於
(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
所以f(x)=x^2是凹函式
所以我們可以得到，對於任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
也就是n階平方平均不等式。
從上面證明過程我們知道通常情況用初等方法判斷函式的凹凸性比較麻煩。
不過如果利用數學分析我們可以有個非常方便的結論。
如果f(x)二階可導，而且f""(x)>=0,那麼f(x)是凹函式
如果f(x)二階可導，而且f""(x)<=0,那麼f(x)是凸函式
至於這個證明，只要使用f(x)的泰勒展開式，利用其二階餘項就可以證明的。（或者構造一個函式採用中值定理）
有了這個結論以後，使用琴生不等式就非常方便了，
現在我們可以非常容易的證明一般情況的平均不等式
比如
i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1時）
ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n<=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0<t<1時）
iii) ((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1x2*...*xn
其中前面兩個取f(x)=x^t就可以了
後面一個取f(x)=log(x)就可以了。
琴生不等式：（注意前提、等號成立條件）
設f(x)為上凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,稱為琴生不等式（冪平均）。
加權形式為：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
凸函式的概念：
【定義】如果函式f(x)滿足對定義域上任意兩個數x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2>=f((x1+x2)/2),那麼f(x)為凹函式，或下凸函式。
【定義】如果函式f(x)滿足對定義域上任意兩個數x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2<=f((x1+x2)/2),那麼f(x)為凸函式，或上凸函式。
同樣，如果不等式中等號只有x1=x2時才成立，我們分別稱它們為嚴格的凹凸函式
上面上凸下凸的名字我有可能記錯了。
琴生不等式說，
對於任意的凹函式f(x)以及其定義域上n個數x1,x2,...,xn,那麼都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
對於任意的凸函式f(x)以及其定義域上n個數x1,x2,...,xn,那麼都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n<=f((x1+x2+...+xn)/n)
如果上面凹凸是嚴格的，那麼不等式的等號只有x1=x2=...=xn才成立
現在我們看看如何證明琴生不等式，下面只對凹函式加以證明。
首先我們對n是2的冪加以證明，用數學歸納法
假設對於n=2^k琴生不等式成立，那麼對於n=2^(k+1)
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
>=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以對於所有2的冪，琴生不等式成立。
現在對於一個普通的n,如果n不是2的冪，我們可以找到一個k,使得2^k>n
然後我們設
x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
代入2^k階的琴生不等式結論，整理後就可以得到結論。
現在看看如何使用琴生不等式證明平方平均不等式
(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
顯然，我們可以檢視函式f(x)=x^2
由於
(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
所以f(x)=x^2是凹函式
所以我們可以得到，對於任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
也就是n階平方平均不等式。
從上面證明過程我們知道通常情況用初等方法判斷函式的凹凸性比較麻煩。
不過如果利用數學分析我們可以有個非常方便的結論。
如果f(x)二階可導，而且f""(x)>=0,那麼f(x)是凹函式
如果f(x)二階可導，而且f""(x)<=0,那麼f(x)是凸函式
至於這個證明，只要使用f(x)的泰勒展開式，利用其二階餘項就可以證明的。（或者構造一個函式採用中值定理）
有了這個結論以後，使用琴生不等式就非常方便了，
現在我們可以非常容易的證明一般情況的平均不等式
比如
i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1時）
ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n<=((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0<t<1時）
iii) ((x1+x2+...+xn)/n)^n>=x1x2*...*xn
其中前面兩個取f(x)=x^t就可以了
後面一個取f(x)=log(x)就可以了。