垛積術源於北宋時期科學家沈括首創的“隙積術”，用來研究某種物品按一定規律堆積起來求其總數問題，即高階等差級數的研究。後世數學又家豐富和發展了這一成果。招差術的創立?發展和應用，在世界的數學史和天文學史上都具有的重大的意義和成就。北宋真宗時，有一年皇宮失火，很多建築被燒燬，修復工作需要大量土方。當時因城外取土太遠，遂採用沈括的方案:就近在大街取土，將大街挖成巨塹，然後引汴水入塹成河，使運料的船隻可以沿河直抵宮門。竣工後，將瓦礫廢料充塞巨塹復為大街。沈括提出的方案，一舉解決了取土?運料?廢料處理等問題。此外，沈括還有“因糧於敵”?“高超合龍”，“引水補堤”等，也都是使用運籌學思想的例子。沈括是北宋時期的大科學家，博學多識，在天文?方誌?律歷?音樂?醫藥?卜算等方面皆有所論著。沈括注意數學的應用，把它應用於天文?曆法?工程?軍事等領域，得出了許多重要的成果。沈括的數學成就主要是提出了隙積術?測算?度量?運糧對策等。其中的“隙積術”是高階等差級數求和的一種方法，為後來南宋楊輝的“垛積術”?元代郭守敬和朱世傑的“招差術”開闢了道路。垛積，即堆垛求積的意思。由於許多堆垛現象呈高階等差數列，因此垛積術在中國古代數學中就成了專門研究高階等差數列求和的方法。沈括在《夢溪筆談》中說:算術中求各種幾何體積的方法，例如長方稜臺?兩底面為直角三角形的正柱體?三角錐體?四稜錐等，大致都已具備，唯獨沒有隙積這種演算法。所謂隙積，就是有空隙的堆垛體，像壘起來的棋子，以及酒店裡疊置的酒罈一類的東西。他們的形狀雖像覆鬥，4個測面也都是斜的，但由於內部有內隙之處，如果用長方稜臺方法來計算，得出的結果往往比實際為少。沈括所言把隙積與體積之間的關係講得一清二楚。同樣是求積，但“隙積”是內部有空隙的，像累棋，層層堆積壇罐一樣。而酒家積壇之類的隙積問題，不能套用長方稜臺體積公式。但也不是不可類比，有空隙的堆垛體畢竟很像長方稜臺，因此在演算法上應該有一些聯絡。沈括是用什麼方法求得這一正確公式的，《夢溪筆談》沒有詳細說明。現有多種猜測，有人認為是對不同長?寬?高的垛積進行多次實驗，用歸納方法得出的;還有人認為可能是用“損廣補狹”辦法，割補幾何體得出的。沈括所創造的將級數與體積比類，從而求和的方法，為後人研究級數求和問題提供了一條思路。首先是南宋末年的數學家楊輝在這條思路中獲得了成就。楊輝在《詳解九章算術演算法》和《演算法通變本末》中，豐富和發展了沈括的“隙積術”成果，提出了一些新的垛積公式。沈括?楊輝等所討論的級數與一般等差級數不同，前後兩項之差並不相等，但是逐項差數之差或者高次差相等。對這類高階等差級數的研究，在楊輝之後一般稱為“垛積術”。元代數學家朱世傑在其所著的《四元玉鑑》一書中，把沈括?楊輝在高階等差級數求和方面的工作向前推進了一步。朱世傑對於垛積術做了進一步的研究，並得到一系列重要的高階等差級數求和公式，這是元代數學的又一項突出成就。他還研究了更復雜的垛積公式及其在各種問題中的實際應用。對於一般等差數列和等比數列，中國古代很早就有了初步的研究成果。總結和歸納出這些公式並不是一件輕而易舉的事情，是有相當難度的。上述沈括?楊輝?朱世傑等人的研究工作，為此作出了突出的貢獻。777什麼是招差數？“招差術”也是中國古代數學領域的一項重要成就，曾被大科學家牛頓加以利用，在世界上產生深遠影響。中國古代天文學中早已應用了一次內插法，隋唐時期又創立了等間距和不等間距二次內插法，用以計算日月五星的視行度數。這項工作首先是由劉焯開始的。劉焯是隋代經學家?天文學家。他的門生弟子很多，成名的也不少，其中衡水縣的孔穎達和蓋文達，就是他的得意門生，後來成為唐代初期的經學大師。隋煬帝即位，劉焯任太學博士。當時，曆法多存謬誤，他嘔心瀝血製成《皇極曆》，首次考慮到太陽視運動的不均性，創立“等間距二次內插法公式”來計算日?月?五星的執行速度。《皇極曆》在推算日行盈縮，黃道月道損益，日?月食的多少及出現的地點和時間等方面，都比以前諸歷精密得多。由於太陽的視運動對時間來講並不是一個二次函式，因此即使用不等間距的二次內插公式也不能精確地推算太陽和月球執行的速度。因此，劉焯的內插法有待於進一步研究。宋元時期，天文學與數學的關係進一步密切了，許多重要的數學方法，如高次方程的數值解法，以及高次等差數列求和方法等，都被天文學所吸收，成為制訂新曆法的重要工具。元代的《授時歷》就是一個典型。《授時歷》是由元代天文學家兼數學家郭守敬為主集體編寫的一部先進的歷法著作。其先進的成就之一，就是其中應用了招差術。郭守敬創立了相當於球面三角公式的演算法，用於計算天體的黃道座標和赤道座標及其相互換算，廢除了歷代編算曆法中的分數計算，採用百位進位制，使運算過程大為簡化。與此同時，在推算太陽逐日執行的速度以及它在黃道上的經度時，郭守敬還創造了“招差術”，即三次內差法，使天體位置推算得更加精確，比牛頓提出的內差法一般公式早了近400年。招差術在朱世傑的時候得到了更深入的發展。《四元玉鑑》“如象招數”一門共5問，都是和招差有關的問題。因為朱世傑比較完善地掌握了級數求和方面的知識，特別是掌握了各種三角垛求和方面的知識的緣故，所以，他在中國數學史上第一次完整地列出了高次招差的公式。在歐洲，招差術由牛頓加以發展，推出著名的牛頓插值公式。朱世傑所發現的公式與牛頓插值公式在形式上和實質上都是完全一致的，而且比後者要早300多年。四元玉鑑
垛積術源於北宋時期科學家沈括首創的“隙積術”，用來研究某種物品按一定規律堆積起來求其總數問題，即高階等差級數的研究。後世數學又家豐富和發展了這一成果。招差術的創立?發展和應用，在世界的數學史和天文學史上都具有的重大的意義和成就。北宋真宗時，有一年皇宮失火，很多建築被燒燬，修復工作需要大量土方。當時因城外取土太遠，遂採用沈括的方案:就近在大街取土，將大街挖成巨塹，然後引汴水入塹成河，使運料的船隻可以沿河直抵宮門。竣工後，將瓦礫廢料充塞巨塹復為大街。沈括提出的方案，一舉解決了取土?運料?廢料處理等問題。此外，沈括還有“因糧於敵”?“高超合龍”，“引水補堤”等，也都是使用運籌學思想的例子。沈括是北宋時期的大科學家，博學多識，在天文?方誌?律歷?音樂?醫藥?卜算等方面皆有所論著。沈括注意數學的應用，把它應用於天文?曆法?工程?軍事等領域，得出了許多重要的成果。沈括的數學成就主要是提出了隙積術?測算?度量?運糧對策等。其中的“隙積術”是高階等差級數求和的一種方法，為後來南宋楊輝的“垛積術”?元代郭守敬和朱世傑的“招差術”開闢了道路。垛積，即堆垛求積的意思。由於許多堆垛現象呈高階等差數列，因此垛積術在中國古代數學中就成了專門研究高階等差數列求和的方法。沈括在《夢溪筆談》中說:算術中求各種幾何體積的方法，例如長方稜臺?兩底面為直角三角形的正柱體?三角錐體?四稜錐等，大致都已具備，唯獨沒有隙積這種演算法。所謂隙積，就是有空隙的堆垛體，像壘起來的棋子，以及酒店裡疊置的酒罈一類的東西。他們的形狀雖像覆鬥，4個測面也都是斜的，但由於內部有內隙之處，如果用長方稜臺方法來計算，得出的結果往往比實際為少。沈括所言把隙積與體積之間的關係講得一清二楚。同樣是求積，但“隙積”是內部有空隙的，像累棋，層層堆積壇罐一樣。而酒家積壇之類的隙積問題，不能套用長方稜臺體積公式。但也不是不可類比，有空隙的堆垛體畢竟很像長方稜臺，因此在演算法上應該有一些聯絡。沈括是用什麼方法求得這一正確公式的，《夢溪筆談》沒有詳細說明。現有多種猜測，有人認為是對不同長?寬?高的垛積進行多次實驗，用歸納方法得出的;還有人認為可能是用“損廣補狹”辦法，割補幾何體得出的。沈括所創造的將級數與體積比類，從而求和的方法，為後人研究級數求和問題提供了一條思路。首先是南宋末年的數學家楊輝在這條思路中獲得了成就。楊輝在《詳解九章算術演算法》和《演算法通變本末》中，豐富和發展了沈括的“隙積術”成果，提出了一些新的垛積公式。沈括?楊輝等所討論的級數與一般等差級數不同，前後兩項之差並不相等，但是逐項差數之差或者高次差相等。對這類高階等差級數的研究，在楊輝之後一般稱為“垛積術”。元代數學家朱世傑在其所著的《四元玉鑑》一書中，把沈括?楊輝在高階等差級數求和方面的工作向前推進了一步。朱世傑對於垛積術做了進一步的研究，並得到一系列重要的高階等差級數求和公式，這是元代數學的又一項突出成就。他還研究了更復雜的垛積公式及其在各種問題中的實際應用。對於一般等差數列和等比數列，中國古代很早就有了初步的研究成果。總結和歸納出這些公式並不是一件輕而易舉的事情，是有相當難度的。上述沈括?楊輝?朱世傑等人的研究工作，為此作出了突出的貢獻。777什麼是招差數？“招差術”也是中國古代數學領域的一項重要成就，曾被大科學家牛頓加以利用，在世界上產生深遠影響。中國古代天文學中早已應用了一次內插法，隋唐時期又創立了等間距和不等間距二次內插法，用以計算日月五星的視行度數。這項工作首先是由劉焯開始的。劉焯是隋代經學家?天文學家。他的門生弟子很多，成名的也不少，其中衡水縣的孔穎達和蓋文達，就是他的得意門生，後來成為唐代初期的經學大師。隋煬帝即位，劉焯任太學博士。當時，曆法多存謬誤，他嘔心瀝血製成《皇極曆》，首次考慮到太陽視運動的不均性，創立“等間距二次內插法公式”來計算日?月?五星的執行速度。《皇極曆》在推算日行盈縮，黃道月道損益，日?月食的多少及出現的地點和時間等方面，都比以前諸歷精密得多。由於太陽的視運動對時間來講並不是一個二次函式，因此即使用不等間距的二次內插公式也不能精確地推算太陽和月球執行的速度。因此，劉焯的內插法有待於進一步研究。宋元時期，天文學與數學的關係進一步密切了，許多重要的數學方法，如高次方程的數值解法，以及高次等差數列求和方法等，都被天文學所吸收，成為制訂新曆法的重要工具。元代的《授時歷》就是一個典型。《授時歷》是由元代天文學家兼數學家郭守敬為主集體編寫的一部先進的歷法著作。其先進的成就之一，就是其中應用了招差術。郭守敬創立了相當於球面三角公式的演算法，用於計算天體的黃道座標和赤道座標及其相互換算，廢除了歷代編算曆法中的分數計算，採用百位進位制，使運算過程大為簡化。與此同時，在推算太陽逐日執行的速度以及它在黃道上的經度時，郭守敬還創造了“招差術”，即三次內差法，使天體位置推算得更加精確，比牛頓提出的內差法一般公式早了近400年。招差術在朱世傑的時候得到了更深入的發展。《四元玉鑑》“如象招數”一門共5問，都是和招差有關的問題。因為朱世傑比較完善地掌握了級數求和方面的知識，特別是掌握了各種三角垛求和方面的知識的緣故，所以，他在中國數學史上第一次完整地列出了高次招差的公式。在歐洲，招差術由牛頓加以發展，推出著名的牛頓插值公式。朱世傑所發現的公式與牛頓插值公式在形式上和實質上都是完全一致的，而且比後者要早300多年。四元玉鑑