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  • 1 # 天藍如海7

    一般式是這樣的ay""+by"+cy=f(x)

    第一步:求特徵根

    令ar²+br+c=0,解得r1和r2兩個值,(這裡可以是複數,例如(βi)²=-β²)

    第二步:通解

    1、若r1≠r2,則y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)

    2、若r1=r2,則y=(C1+C2x)*e^(r1*x)

    3、若r1,2=α±βi,則y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

    第三步:特解

    f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是關於x的多項式,且λ經常為0)

    則y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同樣形式的多項式,例如P(x)是x²+2x,則設Q(x)為ax²+bx+c,abc都是待定係數)

    1、若λ不是特徵根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)

    2、若λ是單根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)

    3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)

    f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

    1、若α+βi不是特徵根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

    2、若α+βi是特徵根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定係數)

    第四步:解特解係數

    把特解的y*"",y*",y*都解出來帶回原方程,對照係數解出待定係數。

    最後結果就是y=通解+特解。

    通解的係數C1,C2是任意常數。

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