先說一個直觀的結論：邊長3微米的10^12維正方體無法塞進一個半徑1米的10^12維球體之中
這源於一個很簡單的計算：n維單位球體可以容納的最大正方體邊長等於
這並不是因為球體在變得狹窄，球體總是圓潤的，實際上是隨著維度的增高，正方體變得越來越多刺；就拿邊長為2米的正方體舉例，當n=2時因為它是正方形，所以它的最遠點距離中點 米；當n=3時，立方體的最遠點距離中點 米；……；等到n增加到 ，一個 維的正方體，哪怕邊長仍然是2米，它的對角線長度已經跨越了兩光年，因此此時拿一個半徑一光年的球都不足以遮住它的刺
前段時間在知乎別的問題下看到的
一維單位球體（線段）的長度是2二維單位球體（圓）的面積是π三維單位球體的體積是4/3π
可以進行推廣，稱n維單位球體為滿足(x1)²+...+(xn)²≤1的點全體構成的集合如果對n維單位球體測量體積，會發現隨著n趨於無窮大，球體的體積趨於0
感覺好像有人誤解了什麼，稍微補充一下。這裡並不是球體與外切立方體體積比值那麼簡單單位正方體的定義是邊長為1，而單位球定義是半徑為1，直徑為2，因此二者是彼此穿插的，並非一者嵌入另一者之內單位球的外接正方體是邊長為2的正方體，體積為2^n，因此即便單位球與外接正方體的體積比例趨於0也不能說明單位球的體積趨於0
還有，很多人跟我說單位不同無法比較。比如邊長1分米的正方體，如果把單位換算為米，則隨著n的增大分別是0.1米，0.01平方米，0.001立方米，...，數值趨於0；而如果把單位換算為釐米，則隨著n的增大分別是10釐米，100平方釐米，1000平方釐米，...，數值趨於無窮大；
但是，球體有著本質的一點區別：不論你使用什麼樣的單位，球體的體積數值永遠趨於0，換一個角度說，就是無論你指定一個多麼小的 ，總會有一個足夠大的n，使得邊長 的n維正方體體積超過n維單位球體的體積（這個結論比前一個結論強）
最後再說個無聊的……√2是整數
這是因為代數學裡有一個名詞叫作“代數整數”，並且“代數整數”可以簡稱為“整數”
所謂代數整數就是整數環上首一多項式的根，√2是x²-2=0的根，因此是代數整數，也就是整數
沒錯，這只是個無聊的文字遊戲而已
先說一個直觀的結論：邊長3微米的10^12維正方體無法塞進一個半徑1米的10^12維球體之中
這源於一個很簡單的計算：n維單位球體可以容納的最大正方體邊長等於
這並不是因為球體在變得狹窄，球體總是圓潤的，實際上是隨著維度的增高，正方體變得越來越多刺；就拿邊長為2米的正方體舉例，當n=2時因為它是正方形，所以它的最遠點距離中點 米；當n=3時，立方體的最遠點距離中點 米；……；等到n增加到 ，一個 維的正方體，哪怕邊長仍然是2米，它的對角線長度已經跨越了兩光年，因此此時拿一個半徑一光年的球都不足以遮住它的刺
前段時間在知乎別的問題下看到的
一維單位球體（線段）的長度是2二維單位球體（圓）的面積是π三維單位球體的體積是4/3π
可以進行推廣，稱n維單位球體為滿足(x1)²+...+(xn)²≤1的點全體構成的集合如果對n維單位球體測量體積，會發現隨著n趨於無窮大，球體的體積趨於0
感覺好像有人誤解了什麼，稍微補充一下。這裡並不是球體與外切立方體體積比值那麼簡單單位正方體的定義是邊長為1，而單位球定義是半徑為1，直徑為2，因此二者是彼此穿插的，並非一者嵌入另一者之內單位球的外接正方體是邊長為2的正方體，體積為2^n，因此即便單位球與外接正方體的體積比例趨於0也不能說明單位球的體積趨於0
還有，很多人跟我說單位不同無法比較。比如邊長1分米的正方體，如果把單位換算為米，則隨著n的增大分別是0.1米，0.01平方米，0.001立方米，...，數值趨於0；而如果把單位換算為釐米，則隨著n的增大分別是10釐米，100平方釐米，1000平方釐米，...，數值趨於無窮大；
但是，球體有著本質的一點區別：不論你使用什麼樣的單位，球體的體積數值永遠趨於0，換一個角度說，就是無論你指定一個多麼小的 ，總會有一個足夠大的n，使得邊長 的n維正方體體積超過n維單位球體的體積（這個結論比前一個結論強）
最後再說個無聊的……√2是整數
這是因為代數學裡有一個名詞叫作“代數整數”，並且“代數整數”可以簡稱為“整數”
所謂代數整數就是整數環上首一多項式的根，√2是x²-2=0的根，因此是代數整數，也就是整數
沒錯，這只是個無聊的文字遊戲而已