假設在定義域上可以定義一族函式 他們的定義域相同， 此時 我們任取定義域中的一個點 a ，在這個點a上, 此前定義的一族函式的值全部確定了。 也就是說我們得到了可數多個數值， 有了可數多個數值， 就有了一個數列，這個數列就是（f_n(a)). 既然有了數列，就可以討論數列的收斂問題。 如果數列 f_n (a) 收斂於某一個數， 而這個數 恰巧是某一個函式f 在a點的值。 因為a是定義域內任意的點，也就是說 我們在定義域內每個點每個點的去看 都滿足上述數列的性質。 則出現了一個 新的函式f 定義於定義域上。這個函式 就叫做極限函式 ，這種收斂 就叫做逐點收斂 pointwise convergence （即 對於每一個定義域中的點，函式族在該點上形成的數值數列收斂於極限函式在該點上的數值）。

針對於逐點收斂，在每點上的收斂速度是不同的。 從定義來看，\epsilon-N 中的 大N 依賴於a點，但是這種逐點收斂並不能保證一些性質， 即連續函式族是否逐點收斂到連續函式，可微函式族是否收斂到可微函式，以及逐點收斂能否保證可積性，等等等等。 基於以上考慮， 我們要修正逐點收斂的定義，以定義出新的更加精準的定義去保證我們上述提到的東西。 這樣我們便引出了一致收斂定義。即N僅僅依賴於\varepsilon 從圖上來看， 每點去躺到極限函式的速度是一致的。 幾何解釋為 在極限函數週圍 畫一個帶子 半徑是\varepsilon 函式族從某一個大N開始 以後所有的函式 都落在這個帶子中