泰勒公式

根據牛頓逼近法就可以得到從1階一直可以推導到N階：

假設f1(x)=f(x)-f(a)由牛頓逼近法有f1(x)=f"(a)(x-a)+o(x-a)^2所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2同理，假設 f2(x)=f(x)-f(a)-f"(x)(x-a)兩邊求導,f2"(x)=f，(x)-f，(x)-f"(x)(x-a)=-f"(a)(x-a)再求不定積分f2(x)=-(1/2)f"(a)(x-a)^2+C,C就是那個高階無窮小(需要證明）所以f(x)=f(a)+f"(a)(x-a)+f"(a)(x-a)A2+o(x-a)^3

依次類推，最後就有了泰勒公式。

另一種證明過程，先寫出來g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n，然後從等式序列，g(a)=f(a),g"(a)=f"(a),...g…"(a)=f…"(a)......就得到所有的a0-an的泰勒展示係數了。

泰勒級數展開函式，能做什麼？對於特定的x取值，可以求它附近的函式。y=xA100展開以後可以求x=1附近的0.9999的100次方等於多少。計算過程和結果不但更直觀，而且可以透過捨棄一些高階項的方法來避免不必要的精度計算，簡化了計算，節省了計算時間(如果是計算機計算複雜數字的話)。在影象處理的計算機軟體中，經常要用到開方和冪次計算，而QuakeIII的原始碼中就對於此類的計算做了最佳化，採用泰勒技術展開和保留基本項的辦法，比純粹的此類運算快了4倍以上。對於曲線交點的問題，用方程求解的辦法有時候找不到答案，方程太複雜解不出來，那麼用泰勒級數的辦法求這個交點，那麼交點的精度要提高，相當於泰勒級數的保留項要增加，而這個過程對應於牛頓--萊布尼茨的迭代過程，曲線交點的解在精度要求確定的情況下，有了被求出的可能。

泰勒技術用來求解高方程問題，是一種通用的方法，而不是像中學時代那樣一種問題一種解決辦法，高等數學之所以成為"高等"，就是它足夠抽象，抽象到外延無窮大。