內容

在△ABC中，D是BC上的一點，連結AD。那麼sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD。

逆定理: 如果sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，那麼B,D,C三點共線。

張角定理

定理的推論:

在定理的條件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，則B D C共線的充要條件是:2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

一說本定理是公元184年由中國的張角發現(其實只是網友之惡搞)。

證明

證法1:

設∠1=∠BAD，∠2=∠CAD

由分角定理，

S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)

→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)

S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)

→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)

(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD。

證法2:

由正弦定理，

AD/sinB=BD/sin∠1， (2.1)

AD/sinC=CD/sin∠2， (2.2)

AB/sinC=BC/sin(∠1+∠2)， (2.3)

AC/sinB=BC/sin(∠1+∠2); (2.4)

那麼由(2.1)，(2.2)，BD=ADsin∠1/sinB，CD=ADsin∠2/sinC，從而

BC=BD+CD=AD(sin∠1/sinB+sin∠2/sinC) (2.5)

由(2.3)，(2.4)，知sin∠1/AC=sin∠1sin(∠1+∠2) / BCsinB，sin∠2/AB=sin∠2sin(∠1+∠2) / BCsinC。

將以上兩式相加，並將(2.5)代入即可。

證法3:

由面積和得:

0.5sin∠BAD*BA*AD+0.5sin∠DAC*DA*AC=0.5sin∠BAC*BA*AC

應用

把平面幾何和三角函式緊密相連，它給出了用三角法處理平面幾何問題的一個頗為有用的公式，並且是一個非常有效的證明三點共線的手段。用它去解幾何題，適當地配合三角形面積公式、正弦定理、三角公式、幾何知識，可以大大簡化解題步驟，眾多的幾何問題可以得到簡捷統一的解決。