數學歸納法可以證

也可以如下做 比較有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^2

=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由於n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前後消項]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

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利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

......

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

另外一個很好玩的做法

想像一個有圓圈構成的正三角形，

第一行1個圈，圈內的數字為1

第二行2個圈，圈內的數字都為2，

以此類推

第n行n個圈，圈內的數字都為n，

我們要求的平方和，就轉化為了求這個三角形所有圈內數字的和。設這個數為r

下面將這個三角形順時針旋轉60度，得到第二個三角形

再將第二個三角形順時針旋轉60度，得到第三個三角形

然後，將這三個三角形對應的圓圈內的數字相加，

我們神奇的發現所有圈內的數字都變成了2n+1

而總共有幾個圈呢，這是一個簡單的等差數列求和

1+2+……+n=n(n+1)/2

於是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)

r=n(n+1)(2n+1)/6