在考研以及非數學專業的範圍內，遇見這種既有既有ξ又有η的中值定理題目，基本就兩種套路。
第一種的特徵是題目裡f′(ξ)和f′(η)複雜程度相同，那麼就在給定的區間內找到一個點，然後用兩次拉格朗日中值定理；
第二種的特徵是給定的f′(ξ)與f′(η) 複雜程度不同，那麼只需要看二者中複雜的那一個，如果這部分明顯是某個函式的導數，便直接用拉格朗日中值定理；如若不是，那麼就用柯西中值定理。
這樣講太抽象，舉幾個例子說明一下。先拿題主給定的題目來講，含有ξ的部分為f′(ξ)，含有η的部分為 ，顯然兩者的複雜程度不一，符合第二種特徵。進一步的， 並非是某個函式的導數，那麼便屬於使用柯西的情形，此處2η為η²的導數，那麼設g(x)=x²， 點η∈(a,b)，使得 = = = = = ，原命題獲證。
再來一個例子：f(x)在[a,b]連續，在(a,b)可導，且a＞0，證明 ξ,η∈(a,b)，使得ab f′(ξ)= η²f′(η).
這道題ξ的部分為f′(ξ)，η的部分為η²f′(η)，符合第二種特徵，且η²f′(η)也不是某個函式的導數，那麼便和上題一樣屬於使用柯西的情形。同樣的思路，η²f′(η)= ，而 是 的導數，則設g(x)= ， 點η∈(a,b)，使得 = = = = ab f′(ξ)= =η²f′(η) ，原命題獲證。
最後舉一個符合第一類特徵的例子：f(x)在[a,b]連續，在(a,b)可導，f(0)=0，f(1)=1， 點c∈(a,b)，使得f(c)=1-c，然後證明存在ξ,η∈(a,b)，有f′(ξ) f′(η)=1.
很明顯此處的f′(ξ)和 f′(η) 複雜程度一致，且題目裡已經明確給出了點c，使用兩次拉格朗日，f′(ξ)= = ，f′(η)= = ，於是f′(ξ) f′(η)=1.
在考研以及非數學專業的範圍內，遇見這種既有既有ξ又有η的中值定理題目，基本就兩種套路。
第一種的特徵是題目裡f′(ξ)和f′(η)複雜程度相同，那麼就在給定的區間內找到一個點，然後用兩次拉格朗日中值定理；
第二種的特徵是給定的f′(ξ)與f′(η) 複雜程度不同，那麼只需要看二者中複雜的那一個，如果這部分明顯是某個函式的導數，便直接用拉格朗日中值定理；如若不是，那麼就用柯西中值定理。
這樣講太抽象，舉幾個例子說明一下。先拿題主給定的題目來講，含有ξ的部分為f′(ξ)，含有η的部分為 ，顯然兩者的複雜程度不一，符合第二種特徵。進一步的， 並非是某個函式的導數，那麼便屬於使用柯西的情形，此處2η為η²的導數，那麼設g(x)=x²， 點η∈(a,b)，使得 = = = = = ，原命題獲證。
再來一個例子：f(x)在[a,b]連續，在(a,b)可導，且a＞0，證明 ξ,η∈(a,b)，使得ab f′(ξ)= η²f′(η).
這道題ξ的部分為f′(ξ)，η的部分為η²f′(η)，符合第二種特徵，且η²f′(η)也不是某個函式的導數，那麼便和上題一樣屬於使用柯西的情形。同樣的思路，η²f′(η)= ，而 是 的導數，則設g(x)= ， 點η∈(a,b)，使得 = = = = ab f′(ξ)= =η²f′(η) ，原命題獲證。
最後舉一個符合第一類特徵的例子：f(x)在[a,b]連續，在(a,b)可導，f(0)=0，f(1)=1， 點c∈(a,b)，使得f(c)=1-c，然後證明存在ξ,η∈(a,b)，有f′(ξ) f′(η)=1.
很明顯此處的f′(ξ)和 f′(η) 複雜程度一致，且題目裡已經明確給出了點c，使用兩次拉格朗日，f′(ξ)= = ，f′(η)= = ，於是f′(ξ) f′(η)=1.