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  • 1 # lanfengz3

    張量積。在數學中,張量積(tensor product) ,可以應用於不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數、拓撲向量空間和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的:最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積。

    示例:

    結果的秩為1,結果的維數為 4×3 = 12。

    這裡的秩指示張量秩(所需指標數),而維數計算在結果陣列(陣列)中自由度的數目;矩陣的秩是 1。

    代表情況是任何兩個被當作矩陣的矩形陣列的克羅內克積。在同維數的兩個向量之間的張量積的特殊情況是並矢積。

    擴充套件資料:

    多種張量積:

    一、兩個張量的張量積

    有兩個(或更多)張量積的分量的一般公式。例如,如果U和V是秩分別為n和m的兩個協變張量,則它們的張量積的分量給出為:

    所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。

    注意在張量積中,因子U消耗第一個 rank(U) 指標,而因子V消耗下一個 rank(V) 指標,所以

    例子:

    設U是型別 (1,1) 的張量,帶有分量Uβ;並設V是型別 (1,0) 的張量,帶有分量V。則而 。張量積繼承它的因子的所有指標。

    二、多重線性對映的張量積

    給定多重線性對映和

    它們的張量積是多重線性函式 。

    三、兩個向量空間的張量積

    在向量空間範疇,物件之間的同態都是線性對映。但其實我們經常會碰到 “雙線性對映” 這種概念。

    比如內積就是一個雙線性對映 V x V --> C. 我們希望把 “雙線性” 這種性質歸於向量空間範疇。一個辦法就是,構造一個跟 V, W 有關的向量空間 Z,使得所有定義在 V x W 上的 “雙線性對映” 都可以由 “唯一” 一個定義在 Z 上的 “線性對映” 來代替。這個 Z 就叫 V 和 W 的張量積。

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