定義

1.如果a^x=N(a>0，且a≠1)，那麼數x叫做以a為底N的對數(logarithm)，記作x=log(a)N.其中，a叫做對數的底數，N叫做真數。且a>o，a≠1，N>0

2.將以10為底的對數叫做常用對數(commonlogarithm)，並把log(10)N記為lgN.

3.以e為底的對數稱為自然對數(naturallogarithm)，並把log(e)N記為lnN.

零沒有對數.

在實數範圍內，負數無對數。在複數範圍內，負數有對數。如:

㏑(-5)=㏑[(-1)*5]=㏑(-1)+㏑5=iπ+㏑5.

而事實上，當θ=(2k+1)π時(k∈Z)，e^[(2k+1)πi]+1=0，這樣，㏑(-1)的具有周期性的多個值，㏑(-1)=(2k+1)πi。這樣，任意一個負數的自然對數都具有周期性的多個值。例如:㏑(-5)=(2k+1)πi+㏑5。

loga1=0，logaa=1

基本性質

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那麼:

1、a^log(a)N=N(對數恆等式)

證:設log(a)N=t，(t∈R)

則有a^t=N

a^(log(a)N)=a^t=N.

即證.

2、log(a)a=1

證:因為a^b=a^b

令t=a^b

所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

令b=1，則1=log(a)a

3、log(a)(M·N)=log(a)M+log(a)N

公式5

4、log(a)(M÷N)=log(a)M-log(a)N

5、log(a)M^n=nlog(a)M

6、log(a)b*log(b)a=1

7、log(a)b=log(c)b÷log(c)a(換底公式)

基本性質5推廣

log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

推導如下:

由換底公式

log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

換底公式的推導:

設e^x=b^m,e^y=a^n

則log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x÷y

x=ln(b^m),y=ln(a^n)

得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

由基本性質5

log(a^n)(b^m)=[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]=(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

再由換底公式可得

log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]