問題

第五公設：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於兩直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交。

大約公元前400~300年，處於第一次數學危機發生和解決的後危機時代，歐幾里得（Euclid）接受一些視覺圖形和“不證自明”的現象作為起點，並將其命名為公設和公理，編纂《幾何原本》用公理化的推演模式，建造了世界矚目的數學邏輯體系。

在《幾何原本》中，歐幾里得對“第五公設”的處理總讓人感到有不盡人意的缺憾。人們一直都希望透過歐氏前4條公設緊密連線在一起的概念能對“第五公設”做出推演，擬將它從公設中去除而成為一個定理。儘管許多數學家在長達兩千多年的推演工作中，使用了不同的方法對歐氏幾何的邏輯體系進行完善，但所有努力都沒能獲得成功。

在現代綜合幾何中，由普勒菲爾的平行公理代替了歐幾里得所設的“第五公設”。普勒菲爾的平行公理是這樣描述的“過已知點的一條已知直線至多有一條平行線”。

圖1 普勒菲爾的平行公理

當俄國數學家羅巴切夫斯基（N l Lobachevsky）和匈牙利數學家波爾約（Bolyai Janos）嘗試對“第五公設”進行證明時，借用普勒菲爾的平行公理得到了“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”的假設命題，且結合歐氏的前4條公設“線段、直線、圓、直角”及其它公理組形成新的公理系統，透過反證法展開邏輯推演，得到了一連串古怪的演繹命題。但經過仔細審查，卻沒有發現由歸謬法所匯出的命題與“第五公設”之間含有任何邏輯矛盾。直接反駁了“第五公設可證性”，也間接坐實了“第五公設不可證性”，與此同時，又因無矛盾的新幾何體系之存在，使得“第五公設變得不可否定”。羅巴切夫斯基與波爾約從而證明了“第五公設”確實是一條“公設”，不能被證明或否定。由此，巴氏幾何概念呈現在大家面前，包括高斯（J K F Gau&szlig）在內的三位數學家也為我們帶來一個全新的數學分支——非歐幾何學。

巴氏對非歐幾何的創造性研究提出了雙曲幾何，後來黎曼（Riemann Sum）再透過“過直線外一點，沒有直線與已知直線共面而不相交”的假設命題，又提出了橢圓幾何——另一非歐幾何學。

證明“第五公設”的驚奇之處的疑問，正如樓主提問的鮮明觀點“歐幾里得的第五假設被證明不可能還原出更簡單的定理（原始假設），這個證明的驚奇點在哪兒？”

非歐幾何學的產生反映了空間形式的多樣性，歐氏幾何的空間曲率為零，羅氏幾何的空間曲率為負數，黎曼幾何的空間曲率為正數。但這三種幾何各自所匯出的命題均構成了嚴密的公理體系，也被公認都是正確的。然而，證明“第五公設”的驚奇就在於非歐幾何學涉及到替代“第五公設”的普勒菲爾公理並不是真正的原始命題。

中國學者程平發表文章，用“一因一果”同“多因一果”的兩種推理方法作比較，指出了歐氏“第五公設”不能被證明的原因為：不是任何數目的原始命題都能完成對“第五公設”的邏輯檢驗。與此同時，學者李春泰撰文也指出：歐幾里得幾何的可能世界有很多邏輯無法深入的地方。

圖2 由歐幾里得的公設I.1、I.2、I.3處理的三條直線

《幾何原本》陳述：命題I.9一個角可以切分成兩個相等的角，以及命題I.12經過直線外的一點可以向直線作垂線。如果，O是角平分線AC上一點，且A、B分別是角的兩邊上垂足（圖2），那麼，連結A、B形成L1、L2、L3三條相交的直線，可描述為“第五公設”中三條直線。

我們不難發現三角形ABP是等腰三角形，且等腰三角形的兩個底角都是銳角。而這樣的兩個銳角之和小於兩個直角，其滿足“第五公設”。同時，透過歐幾里得所設的公設I.3，由圓ABC的圖形建立聯絡，使角的兩邊成為圓的兩條相等切線，符合切線長定理。然而，等腰三角形的命題是歐幾里得命名的“龐斯命題”，正是“驢橋”邏輯迴圈的首個命題。當它對任意三角形ABP做處理時（圖2），則有些邏輯就無法深入。

圖3 由歐幾里得的公設I.1、I.2、橢圓公設處理的三條直線

有學者撰文《在歐幾里得公理體系中新增橢圓公設》指出，可透過歐氏規定無刻度的度量方法，融合《幾何原本》的前4條公設和5條公理，並且，考量與前4個公認命題進行無矛盾地合同，描摹給出了原始設定的橢圓公設來奠定橢圓圖形。

倘若透過橢圓圖形建立聯絡，設一條不過橢圓中心的橢圓弦，由尺規作圖得到過該橢圓弦的兩端的兩條切線（圖3），形成L1、L2、L3三條相交的直線，可描述為“第五公設”中三條直線。

我們就會發現三角形ABP是任意三角形，且任意三角形的底角α、角β是銳角或鈍角，而這樣一個銳角與一個鈍角之和小於兩個直角，其也滿足“第五公設”。

（1）橢圓公設為何沒出現在《幾何原本》之中？

（2）處於公元前300年那個古老年代，歐幾里得的侷限是什麼？

（3）橢圓公設能否成為歐氏無刻度度量的基礎元素嗎？

（4）橢圓公設能否作為公理化推演的起點完成對“第五公設”的邏輯檢驗嗎？