三個小朋友握手，每兩人握一次，一共握3次手。

五個小朋友握手，每兩人握一次，一共握10次手。

1、三個小朋友握手，每兩人握一次，第一位小朋友可以和後面兩個小朋友分別握手，第二位小朋友握手時，因為第一位已經和其握過手了，所以其只能和第三位握手，只有一種選擇，而最後一位小朋友已經都握過手了，所以不用再握手了。一共2+1=3次。

2、五個小朋友握手，每兩人握一次，第一位小朋友可以和後面四個小朋友分別握手，第二位小朋友握手時，因為第一位已經和其握過手了，所以其只能和後面的三位握手，只有三種選擇，以此類推，第三位有兩種選擇，第四位有一種選擇，最後一位不用握，一共4+3+2+1=10次。

3、這裡的解釋即為數學組合裡的排列問題。

擴充套件資料：

一、加法原理和分類計數法

1、加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那麼完成這件事共N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。

2、第一類辦法的方法屬於集合A1，第二類辦法的方法屬於集合A2，……，第n類辦法的方法屬於集合An，那麼完成這件事的方法屬於集合A1UA2U…UAn。

3、分類的要求 ：每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務的任何一種方法，都屬於某一類（即分類不漏）。

二、乘法原理和分步計數法

1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那麼完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。

2、合理分步的要求：任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所採取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同。