證明:用反證法，設
lim (x趨於a) f"(x) = L，就是要證 L = f"(a)，那麼我們先假設L > f"(a)。
如此一來，取L" = (L+f"(a)) / 2 > f"(a)，根據函式極限的定義，對於
epsilon = (L-f"(a))/2 > 0，存在一個x的鄰域 delta(x)，使得在這個鄰域內的任意一個x，都有，
| f"(x) - L | L - epsilon = L"。
然後考慮在a點導數的定義:
lim (x趨於a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f"(a)，
考慮閉區間 [a,x] (或者 [x,a]，取決於從哪個方向趨近於a，不過無所謂的)，由於函式在該閉區間上連續，在開區間 (a,x)上可導，故根據拉格朗日微分中值定理，存在 c 屬於 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f"(c)，
接著，由於當x趨於a時， c也是趨於a的，所以最終，c一定會進入到剛才所說的x的鄰域 delta(x)(注意我的epsilon 和鄰域都已經取定了，對於固定的一個區間，只要c充分接近a，就一定會進入到這個區間)，到那個時候，就總是有
f"(c) > L"，這樣一來，當c趨於a時，由於函式極限的保號性，就有
f"(a) >= L" > f"(a)，這顯然是一個矛盾。
同理，你也可以證明，當L
證明:用反證法，設
lim (x趨於a) f"(x) = L，就是要證 L = f"(a)，那麼我們先假設L > f"(a)。
如此一來，取L" = (L+f"(a)) / 2 > f"(a)，根據函式極限的定義，對於
epsilon = (L-f"(a))/2 > 0，存在一個x的鄰域 delta(x)，使得在這個鄰域內的任意一個x，都有，
| f"(x) - L | L - epsilon = L"。
然後考慮在a點導數的定義:
lim (x趨於a) [f(x) - f(a)] / (x-a) = f"(a)，
考慮閉區間 [a,x] (或者 [x,a]，取決於從哪個方向趨近於a，不過無所謂的)，由於函式在該閉區間上連續，在開區間 (a,x)上可導，故根據拉格朗日微分中值定理，存在 c 屬於 (a,x)，使得
[f(x) - f(a)] / (x-a) = f"(c)，
接著，由於當x趨於a時， c也是趨於a的，所以最終，c一定會進入到剛才所說的x的鄰域 delta(x)(注意我的epsilon 和鄰域都已經取定了，對於固定的一個區間，只要c充分接近a，就一定會進入到這個區間)，到那個時候，就總是有
f"(c) > L"，這樣一來，當c趨於a時，由於函式極限的保號性，就有
f"(a) >= L" > f"(a)，這顯然是一個矛盾。
同理，你也可以證明，當L