拉普拉斯方程

拉普拉斯方程（Laplace"s equation）又稱調和方程、位勢方程，是一種偏微分方程，因由法國數學家拉普拉斯首先提出而得名。

拉普拉斯方程表示液麵曲率與液體表面壓強之間的關係的公式。

基本資訊

涉及領域

電磁學、天體物理學、力學、數學

關鍵詞

微分方程、拉普拉斯定理

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目錄

基本概述

一個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點作垂直於表面的直線，再透過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相切的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1。透過表面垂線並垂直於第一個平面再作第二個平面並與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2，用 R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。若液麵是彎曲的，液體內部的壓強p1與液體外的壓強p2就會不同，在液麵兩邊就會產生壓強差△P= P1- P2，稱附加壓強，其數值與液麵曲率大小有關，可表示為：

，式中γ是液體表面張力系數，該公式稱為拉普拉斯方程。

在數理方程中

拉普拉斯方程為：

，其中∇²為拉普拉斯運算元，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變數x、y、z二階可微的實函式φ ：

其中∇²稱為拉普拉斯運算元。

拉普拉斯方程的解稱為調和函式。

如果等號右邊是一個給定的函式f（x，y，z），即：

則該方程稱為泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程。偏微分運算元

（可以在任意維空間中定義這樣的運算元）稱為拉普拉斯運算元，英文是Laplace operator或簡稱作Laplacian。

方程的解

稱為調和函式，此函式在方程成立的區域內是解析的。任意兩個函式，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個函式之和（或任意形式的線性組合）同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質稱為疊加原理。可以根據該原理將複雜問題的已知簡單特解組合起來，構造適用面更廣的通解。

二維方程

兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式：

解析函式的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。

人物介紹

拉普拉斯，1749年3月23日生於法國西北部卡爾瓦多斯的博蒙昂諾日，曾任巴黎軍事學院數學教授。1795年任巴黎綜合工科學校教授，後又在高等師範學校任教授。1799年他還擔任過法國經度局局長，並