虛數和複數：虛數的發明來源於解方程，沒有實際物理意義，僅僅是為了計算統一和方便，有些方程運算過程中出現負數根的問題，但最終可以互相抵消或相乘而得出實數解，於是就引入了定義：-1的平分根i。 進而引入複數的概念 a + bi，實數是複數的子集，複數運算也使用實數的運演算法則，運算結果也一定是 a + bi的形式。後來高斯又用直角座標系來形象表示複數，而物理學中的向量也可用座標系表示，進而很容易發現向量運算時用複數來表示向量，然後按四則規則運算符合物理結果。從而確定了複數的價值。但在量子力學中，複數超出了工具的屬性，似乎具有了物理意義，用複數定義，運算和描述量子現象，複數把量子力學變成了純粹的數學世界，客觀世界和心智世界在量子世界已經分不清楚區別。
大小和多少是人類認識外界的一個基本需求，如土地大小，家畜多少等。這種基本需求從計數開始，各民族都發明瞭各自的計數方法，透過交流和比較，阿拉伯數字的十進位制最簡便（如果再考慮計算機的使用，8進位制才是最方便的，不過已經無法更改了），在十進位制的基礎上，自然就會想出加減乘除的運算方法，大大方便計數。發現使用數的好處後，人們就把各種概念轉化為大小和多少的描述，從而實現量化描述，先定義單位，然後用單位的數量描述大小，這樣就可以用數量精確描述某個屬性。隨著數的使用越來越多，必然發現新種類的數，同時為了統一的計算法則，就不斷地定義了這些新種類的數，這樣整個數系就逐漸建立起來。下面分別簡述：
自然數：透過最簡單的計數需求就能想到，無論是用手指對應，還是用石頭對應，1,2,3..這種最基本的數都能自然發明出來，這種基本數也是人腦天生就有的功能。
負數：引入負數的概念一是為了計算的統一和方便，二是負數也有實際的物理意義。舉例說明：某公司1月份賺了100萬，2月份虧了10萬，那1，2月總共賺了多少？我們可以計數為： 1月份賺了+100萬，二月份賺了-10萬，兩個月總共賺了 +100 + （-10） = +90 。這樣財務做賬就統一計數為賺多少錢，虧的就計為賺 –x，總共賺的都用加法。這就是使得計數和計算都統一起來。
負數還有實際的物理意義。例如物體高度的計量，人們必須首先定義某參考物為0高度，上面的就為正的高度多少，下面的就為負的高度多少。再例如溫度計數，人們首先把冰點定義為0度，那高於冰點就是正多少度，低的就是負多少度。這樣才能把這些物理屬性統一量化。
整數：人們把自然數，零和負整數定義成整數，這個沒什麼特別意義，僅僅是定義。
分數和小數：計數稍微進一步就會涉及到不是整數的問題，1頭羊兩個人分，2個蘋果3個人分，測量土地不是整步數，這些問題就自然使人們發展出分數和小數的概念。分數是將一份或幾份的物體平分成若干份，即兩數相除，標記為 n/m。小數是把某數平分成10份，100份，1000份等，即1/10, 1/100, 1/1000，12/100，標記為0.1， 0.01，0.001，0.12，所以1/10 =0.1, 1/100 = 0.01。根據分數和小數的定義，自然就能推理出它們間的轉化方法。
有理數：希臘文或英文都是指比例數，能用整數和整數比表示的數即為有理數，整數相除，要麼為有限小數，要麼為迴圈小數（可理解為兩個固定整數相除餘數一定是有規律的，所以會迴圈）。是不是所有的自然界中的數量都能用有理數表示？似乎是可以的，因為任何無限接近的兩有理數之間都可以找到個 (x + y)/2的有理數與兩數更接近。但自然界中的量為什麼一定可以用整數比表示呢？為什麼一定用有限或無限迴圈數表示呢？這個沒任何理由。恰好相反更多的數應該是無限不迴圈的數。
無理數：透過勾股定理算三角形斜邊長度時就發現現實中的有些量無法用有理數表示，這就引出了無理數。無理數是指無限不迴圈數，絕不是僅僅某數的平方根。只有極少部分無理數可以表示為某數的某次根，更多的無限不迴圈數是無法用根表示的。
實數：有限數，無限迴圈數，無限不迴圈數一起構成實數，他們一個比一個更多，共同反應現實中的所有量，現實中所有量也都可以用實數表示。所以就取名為實數。它們，要麼是整數，要麼是比例數，要麼是無限不迴圈數，沒有其他可能，所以實數是連續的，這個結論可以用反證法證明。實數連續的屬性決定了可微和可積，從而為微積分奠定了基礎。
數軸：為形象地表示實數，引入數軸概念，，規定一個原點為0，經過該點畫直線，0的一方為正實數，另一方為負實數，取適當長度為單位長度，直線上每個點代表一個實數，所有實數也是直線上的某點，一一對應。
實數的運算：加減乘除的法則，按實際的物理意義去理解，很容易想到，唯一有點繞彎的是兩負數相乘，兩個負數相乘為什麼變成了正數呢？可以用具有物理意義的例子去理解，例如衰變物質，每年的的質量增加為負值，求解1萬年前的質量增加了多少，就可以把1萬年前也記為負值，這樣就可統一為物質負1萬年後，質量增加了多少，兩個負值相乘即變成了正。交換律，分配率，結合律也要按現實中的物理意義去理解。指數，冪，根，對數等就是一些特定的數字運算，記住他們的定義和標註方法自然就知道怎麼運算。
虛數和複數：虛數的發明來源於解方程，沒有實際物理意義，僅僅是為了計算統一和方便，有些方程運算過程中出現負數根的問題，但最終可以互相抵消或相乘而得出實數解，於是就引入了定義：-1的平分根i。 進而引入複數的概念 a + bi，實數是複數的子集，複數運算也使用實數的運演算法則，運算結果也一定是 a + bi的形式。後來高斯又用直角座標系來形象表示複數，而物理學中的向量也可用座標系表示，進而很容易發現向量運算時用複數來表示向量，然後按四則規則運算符合物理結果。從而確定了複數的價值。但在量子力學中，複數超出了工具的屬性，似乎具有了物理意義，用複數定義，運算和描述量子現象，複數把量子力學變成了純粹的數學世界，客觀世界和心智世界在量子世界已經分不清楚區別。
綜合上面各種數的發明歷史可以看出，數首先是人們針對現實事物抽象出的數量概念，接著十進位制的發明大大簡化計數和運算，然後是發明自然數，之後為了運算的統一又發明0，負數，實際的應用中進一步發現小數和無理數。虛數的定義是為了方程的求解發明出來的。這樣整個數系就完整建立起來了。