一般人會用洛必達法則：
設
(1)當x→a時,函式f(x)及F(x)都趨於零；
(2)在點a的去心鄰域內,f"(x)及F"(x)都存在且F"(x)≠0；
(3)當x→a時lim f"(x)/F"(x)存在(或為無窮大),那麼
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f"(x)/F"(x).
具體你的題目就是分子求導得到a^x*lna,分母求導得到1,再取極限x->0,分子變成lna,就是極限值.
但是題目要求的這個極限其實就是函式a^x在0處的導數值,因為導數本身就是由這個極限定義出來的.所以這裡不應該再用求導的方法來做.下面的方法有點麻煩,但是卻是這道題的最好的解答,你應該可以看得懂：
令a^x-1=t,根據指數函式連續性,當x->0時,t->0
然後,x=loga(1+t),（以a為底的對數）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 並且 x->0變成是t->0的極限
因為[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
並且,t->0時,[(1+t)^(1/t)]=e是顯然的.
所以 [loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)] -> loga(e)
所以 (a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] -> 1/loga(e)=lna
一般人會用洛必達法則：
設
(1)當x→a時,函式f(x)及F(x)都趨於零；
(2)在點a的去心鄰域內,f"(x)及F"(x)都存在且F"(x)≠0；
(3)當x→a時lim f"(x)/F"(x)存在(或為無窮大),那麼
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f"(x)/F"(x).
具體你的題目就是分子求導得到a^x*lna,分母求導得到1,再取極限x->0,分子變成lna,就是極限值.
但是題目要求的這個極限其實就是函式a^x在0處的導數值,因為導數本身就是由這個極限定義出來的.所以這裡不應該再用求導的方法來做.下面的方法有點麻煩,但是卻是這道題的最好的解答,你應該可以看得懂：
令a^x-1=t,根據指數函式連續性,當x->0時,t->0
然後,x=loga(1+t),（以a為底的對數）
(a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] 並且 x->0變成是t->0的極限
因為[loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)]
並且,t->0時,[(1+t)^(1/t)]=e是顯然的.
所以 [loga(1+t)]/t=loga[(1+t)^(1/t)] -> loga(e)
所以 (a^x-1)/x=t/[loga(1+t)] -> 1/loga(e)=lna