定理1:形如 (a，b，c∈N*)的數能夠表達為形如 (m,n,p,q∈N*)的數的充要條件為， 為完全平方數且bc為偶數。
定理1的證明:
注意到
①
於是充分性顯然。
下證明必要性，即：若
則
則有
故 ，證畢。
補充：若bc為奇數，則可以在根號裡面乘上 ，使變換後的bc變為偶數，從而得到的是 的形式。
定理1及其補充和①式給我們提供了一個開兩層根號的方法：
1.透過恆等變換把根式化成含 的式子（無必要把 化簡）
2.判斷能否開根號，即：驗證 是否為完全平方數。
3.判斷b的奇偶性，從而選擇是否分子分母同乘2。
4.計算 和
5.化簡，得結果。
定理2：形如 （a,b,c∈N*）的數無法寫成 (m,n,p,q,r,s∈N*)的形式。
定理2的證明： 不妨設n，q，s中無平方因子，否則取這三個根式的最簡形式
那麼
若 中有至少兩個為同類二次根式或有至少一個為整數，則顯然不可以；
否則， 中不可能有兩個為同類二次根式或有一個為整數
不然，若 為整數，則nq為完全平方數，這樣n=q，矛盾！
若有至少兩個為同類二次根式，則不妨設為 ，那麼必有 為同類二次根式，矛盾！
故 兩兩不是同類二次根式且均非整數，所以 不可能等於 ，證畢。
多元的情況較為複雜，不過扔出來一個式子拋磚引玉：
能表達為 的形式的數的一個充要條件為， 為完全立方數，且方程 有滿足 的正整數解。
證明：必要性，
若存在m,n使得 ，則有
所以有
故
於是
又由於
故關於x的方程 有整數解
並且顯然
必要性得證。
充分性，注意到 ，於是充分性顯然。
證畢！
從對必要性的證明過程中可以看出這個噁心的方程的來歷，以及充分性中的式子的由來。初等數論裡對於這種係數有引數的三次方程幾乎不能處理，但是當a,b為具體數的時候可以處理。與二次根號的情形類似，如果 ，得到的結果就是個 形式的數。具體操作方法如下：
1.把式子化成 的形式。
2.判斷a-b是否為完全立方數。
3.作方程 ，利用多項式有理根定理可知它的整根必整除於a+b，逐一試算或者透過取模甚至於用卡丹公式硬算等各種辦法，求出它的整根x或證明它無整根。
4.計算 和 ，化簡得結果。
雖然這與二次根號的情形外觀上相差甚遠，但式子本質上都是方程有整根，只不過三次根號的其中一個式子我還沒有化簡到能夠直接判斷的方法。如果已經有更好的判斷方法了，請大佬們多多包涵。
定理1:形如 (a，b，c∈N*)的數能夠表達為形如 (m,n,p,q∈N*)的數的充要條件為， 為完全平方數且bc為偶數。
定理1的證明:
注意到
①
於是充分性顯然。
下證明必要性，即：若
則
則有
故 ，證畢。
補充：若bc為奇數，則可以在根號裡面乘上 ，使變換後的bc變為偶數，從而得到的是 的形式。
定理1及其補充和①式給我們提供了一個開兩層根號的方法：
1.透過恆等變換把根式化成含 的式子（無必要把 化簡）
2.判斷能否開根號，即：驗證 是否為完全平方數。
3.判斷b的奇偶性，從而選擇是否分子分母同乘2。
4.計算 和
5.化簡，得結果。
定理2：形如 （a,b,c∈N*）的數無法寫成 (m,n,p,q,r,s∈N*)的形式。
定理2的證明： 不妨設n，q，s中無平方因子，否則取這三個根式的最簡形式
那麼
若 中有至少兩個為同類二次根式或有至少一個為整數，則顯然不可以；
否則， 中不可能有兩個為同類二次根式或有一個為整數
不然，若 為整數，則nq為完全平方數，這樣n=q，矛盾！
若有至少兩個為同類二次根式，則不妨設為 ，那麼必有 為同類二次根式，矛盾！
故 兩兩不是同類二次根式且均非整數，所以 不可能等於 ，證畢。
多元的情況較為複雜，不過扔出來一個式子拋磚引玉：
能表達為 的形式的數的一個充要條件為， 為完全立方數，且方程 有滿足 的正整數解。
證明：必要性，
若存在m,n使得 ，則有
所以有
故
於是
又由於
故關於x的方程 有整數解
並且顯然
必要性得證。
充分性，注意到 ，於是充分性顯然。
證畢！
從對必要性的證明過程中可以看出這個噁心的方程的來歷，以及充分性中的式子的由來。初等數論裡對於這種係數有引數的三次方程幾乎不能處理，但是當a,b為具體數的時候可以處理。與二次根號的情形類似，如果 ，得到的結果就是個 形式的數。具體操作方法如下：
1.把式子化成 的形式。
2.判斷a-b是否為完全立方數。
3.作方程 ，利用多項式有理根定理可知它的整根必整除於a+b，逐一試算或者透過取模甚至於用卡丹公式硬算等各種辦法，求出它的整根x或證明它無整根。
4.計算 和 ，化簡得結果。
雖然這與二次根號的情形外觀上相差甚遠，但式子本質上都是方程有整根，只不過三次根號的其中一個式子我還沒有化簡到能夠直接判斷的方法。如果已經有更好的判斷方法了，請大佬們多多包涵。