等價無窮小 首先來看看什麼是無窮小：
無窮小就是以數零為極限的變數.確切地說,當自變數x無限接近x0(或x的絕對值無限增大)時,函式值f(x)與零無限接近,即f(x)＝0(或f(x)＝0),則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量.例如,f(x)＝(x－1)2是當x→1時的無窮小量,f(n)＝是當n→∞時的無窮小量,f(x)＝sinx是當x→0時的無窮小量.特別要指出的是,切不可把很小的數與無窮小量混為一談.
這裡值得一提的是,無窮小是可以比較的：
假設a、b都是lim的無窮小
如果lim b/a=0,就說b是比a高階的無窮小,記作b=o（a）
比如b=1/x^2,a=1/x.x-無窮時,通俗的說,b時刻都比a更快地趨於0,所以稱做是b高階.假如有c=1/x^10,那麼c比a b都要高階,因為c更快地趨於0了.
如果lim b/a^n=常數,就說b是a的n階的無窮小,b和a^n是同階無窮小.
下面來介紹等價無窮小：
從無窮小的比較裡可以知道,如果lim b/a^n=常數,就說b是a的n階的無窮小,b和a^n是同階無窮小.特殊地,如果這個常數是1,且n=1,即lim b/a=1,則稱a和b是等價無窮小的關係,記作a～b
等價無窮小在求極限時有重要應用,我們有如下定理：假設lim a’、b～b’則：lim a/b=lim a’/b’
現在我們要求這個極限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)
根據上述定理 當x→0時 sin(x)～x (重要極限一) x+3～x+3 ,那麼lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0
重要的等價無窮小替換
sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 a^x-1~xlna e^x-1~x ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~1/nx loga(1+x)~1/lna x
等價無窮小 首先來看看什麼是無窮小：
無窮小就是以數零為極限的變數.確切地說,當自變數x無限接近x0(或x的絕對值無限增大)時,函式值f(x)與零無限接近,即f(x)＝0(或f(x)＝0),則稱f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮小量.例如,f(x)＝(x－1)2是當x→1時的無窮小量,f(n)＝是當n→∞時的無窮小量,f(x)＝sinx是當x→0時的無窮小量.特別要指出的是,切不可把很小的數與無窮小量混為一談.
這裡值得一提的是,無窮小是可以比較的：
假設a、b都是lim的無窮小
如果lim b/a=0,就說b是比a高階的無窮小,記作b=o（a）
比如b=1/x^2,a=1/x.x-無窮時,通俗的說,b時刻都比a更快地趨於0,所以稱做是b高階.假如有c=1/x^10,那麼c比a b都要高階,因為c更快地趨於0了.
如果lim b/a^n=常數,就說b是a的n階的無窮小,b和a^n是同階無窮小.
下面來介紹等價無窮小：
從無窮小的比較裡可以知道,如果lim b/a^n=常數,就說b是a的n階的無窮小,b和a^n是同階無窮小.特殊地,如果這個常數是1,且n=1,即lim b/a=1,則稱a和b是等價無窮小的關係,記作a～b
等價無窮小在求極限時有重要應用,我們有如下定理：假設lim a’、b～b’則：lim a/b=lim a’/b’
現在我們要求這個極限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)
根據上述定理 當x→0時 sin(x)～x (重要極限一) x+3～x+3 ,那麼lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=0
重要的等價無窮小替換
sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 a^x-1~xlna e^x-1~x ln(1+x)~x
(1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~1/nx loga(1+x)~1/lna x