原理：揭示了已知和未知之間的一種等量關係需要用一個未知數且未知數的次數是2的方式來表達。

解法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等。

一、 一元二次方程的定義及一般形式：

只含有一個未知數x，未知數的最高次數是2，且係數不為 0，這樣的方程叫一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：

(a≠0)，其中a為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。

因此，一元二次方程必須滿足以下3個條件：

① 方程兩邊都是關於未知數的等式

② 只含有一個未知數

如：

，

為一元二次方程，而像就不是一元二次方程。

二、 一元二次方程的特殊形式

（1）當b=0，c=0時，有：

=0，∴

=0，∴x=0

（2）當b=0，0≠0時，有：

，∵a≠0，此方程可轉化為：

①當a與c異號時，

，根據平方根的定義可知，

，即當b=0，c≠0，且a與c異號時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，這兩個實數根互為相反數。

②當a與c同號時，

，∵負數沒有平方根，∴方程沒有實數根。

（3）當b≠0，c＝0時，有

，此方程左邊可以因式分解，使方程轉化為x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可見，當b≠0，c＝0時，一元二次方程

有兩個不相等的實數根，且兩實數根中必有一個為0。

三、 一元二次方程解法：

1. 第一步：解一元二次方程時，如果給的不是一元二次方程的一般式，首先要化為一元二次方程的一般式，再確定用什麼方法求解。

2. 解一元二次方程的常用方法：

（1）直接開方法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程中缺少一次項，是一個形如ax2+c=0的方程時，可以用此方法求解。

解法步驟：①把常數項移到等號右邊，

；

②方程中每項都除以二次項係數，

；

（2）因式分解法：把一元二次方程化為一般式後，如果方程左邊的多項式可以因式分解的話，可以使用此方法求解。

解法步驟：①把方程的左邊因式分解，轉化為兩個因式乘積的形式；

②令每個因式分別等於0，進而求出方程的兩個根；

例：解關於x的方程：

解：把方程左邊因式分解成：（x-m）（x+n）=0

∴x1=m，x2=n

（3）配方法：當一元二次方程化為一般式後，不能用直接開方和因式分解的方法求解時，可以使用此方法。

解法步驟：①若方程的二次項係數不是1，方程中各項同除以二次項係數，使二次項係數為1；

②把常數項移到等號右邊；

④方程左邊變成一個完全平方式，右邊合併同類項，變為一個實數；

⑤方程兩邊同時開平方，從而求出方程的兩個根；

例：解方程：

解：方程兩邊同除以3得：

移項，得：

∴

即：

∴ x+2=±√6

∴

（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，適用於所有的一元二次方程。

求根公式：，其中a≠0。

解法步驟：①先把一元二次方程化為一般式；’

②找出方程中a、b、c等各項係數和常數值；

④把a、b、b2-4ac的值代入公式；

⑤求出方程的兩個根；

例：解方程：

解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4

∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根為

四、一元二次方程根的判別式

1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c =0（a≠0）的根的判別式。

利用根的判別式可以判斷根的情況：

（1）當△≥0時方程有兩個實數根：

當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；

當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；

（2）當△＜0時，方程無實數根。

例：關於x的一元二次方程

有實數根，求m的取值範圍。

解：當m-1≠0時，即：m≠1時，該方程是關於x的一元二次方程。

∵ △≥0，即

=-28m+44≥0，解得：m≤11/7

∴ m的取值範圍是m≤11/7且m≠1。

五、一元二次方程根與係數的關係：

1.定理：設一元二次方程

（a≠0且

）的兩個根分別為x1和x2，則：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a

特別地：對於一元二次方程

，根與係數的關係為：

x1+x2=-p，x1·x2=q

注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是說方程必須有實根時才可以使用。

②此定理又叫韋達定理。