斐波那契數列

一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子?

我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下:

第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;

兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對;

三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;

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依次類推可以列出下表:

所經過月數:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12

兔子對數:1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233

表中數字1，1，2，3，5，8---構成了一個序列。這個數列有關十分明顯的特點，那是:前面相鄰兩項之和，構成了後一項。

這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為:an=1/√[(1+√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....)(√5表示根

。

又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞迴的方法定義：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

1.假設第n 月有a1對兔子, 其中能生育的為b1.

2.那麼第n + 1 月就有a2 = a1(上個月的總數) + b1(新生出來的個數)對.

3.第n + 2 月時, 第n月的兔子都能生了, 因此此時兔子的總對數

a3 = (a1 + b1)(這是上個月的基數) + a1(第n 月存在的兔子都生了一對) = a2 + a1.

4.由以上可得, 第(n + 2)月的數目等於前兩個月的數目之和 即F(n + 2) = F(n) + F(n + 1).