數學永無止境，懸而未決的問題還有不少，不過都不是普通數學愛好者所能理解的。

舉個簡單容易說的：最小的無窮集合是自然數集（可列集），它的勢（元素個數）定義為阿列夫0（即其中元素個數），實數集（連續統）的勢是2^（阿列夫0），記為阿列夫1（等價於一條直線或線段上所有點的個數），那是否有一個無窮集合的勢在這兩個數之間呢？

數學是一門研究數量，空間，規律，變化等的一門學科，它的分支特別多，機率論、數理統計、幾何、立體幾何等等等等。

每一個分支下面都有非常豐富的內容，比如機率論，簡單的說我們可以知道扔硬幣時正面或反面朝上的機率各是多少，現在很多人買彩票都喜歡鑽研規律，尋找機率，這是最基礎的，延伸下去就要計算某一大事件的機率，從而讓決策者做出正確決定。

幾何現在我們知道一維空間，二維空間，三維空間，那還有四維、或者更高維的空間等著我們去探索。這都是數學家要研究的問題。

所謂學無止境，我們已知只是一部分，還有很多未知的等待著去探尋。

問題太多了，對於我這個外行來說，聽說過的有：

1，千年禧數學問題之六，除了龐加萊猜想。

n=pn問題（和計算機演算法聯絡密切），黎曼猜想（比素數定理更深刻的關於質數分佈的百年難題），納維斯托克斯方程（帶粘性的不可壓縮流體的滿足動量守恆的流體力學方程）的解析解和解唯一性等

2，黎曼和ζ(2k-1)的無/有理數和超越性的判斷和證明。

3，尤拉常數γ=lim(1/k)-logN=0.577....的性質未明

4，李雅普諾夫第二穩定法是（漸進）穩定的充要條件嗎

就這幾個。

現代數學的分類有很多，我認為主要有以下幾種：數論，代數，抽象代數，幾何學，微積分學（叫數學分析應該會比較準確），數學邏輯學，離散數學，應用數學（包括，數學物理，機率，統計，博弈，數學經濟，生物數學）。

１數論

初等數論四大定理分別是：威爾遜定理、尤拉定理、剩餘定理（孫子定理）、費馬小定理

2代數

代數是研究數、數量、關係與結構的數學分支。初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什麼，以及瞭解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。代數的研究物件不僅是數字，而是各種抽象化的結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於“數本身是什麼”這樣的問題並不關心。常見的代數結構型別有群、環、域、模、線性空間等。

3抽象代數

抽象代數又稱近世代數，它產生於十九世紀。伽羅瓦在1832年運用「群」的概念徹底解決了用根式求解代數方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的概念的數學家，一般稱他為近世代數創始人。他使代數學由作為解方程的科學轉變為研究代數運算結構的科學，即把代數學由初等代數時期推向抽象代數。抽象代數包含群論、環論、伽羅瓦理論、格論、線性代數等許多分支，並與數學其它分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數也是現代計算機理論基礎之一。

４幾何學

英文Geometry一詞,是從希臘語演變而來的,其原意是土地測量、後被中國明朝的徐光啟翻譯成"幾何學"。依據大量實證研究,創造幾何學的是埃及人,幾何學因土地測量而產生。幾何是研究形的科學,以人的視覺思維為主導,培養人的觀察能力、空間想象能力和洞察力。幾何的發展首先是歐幾里得的歐氏幾何,其次是19世紀上半葉,非歐幾何的誕生,再次是射影幾何的繁榮,最後是幾何學的統一。

５微積分學

微積分學（differential andintegralcalculus）是的基礎分支，內容主要包括函式、極限、微分學、積分學及其應用。函式是微積分研究的基本物件，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限。

６數學邏輯學

形式邏輯形式上符號化、數學化的邏輯，本質上仍屬於知性邏輯的範疇。 [1-2] 數理邏輯又稱符號邏輯、理論邏輯。它既是數學的一個分支，也是邏輯學的一個分支。是用數學方法研究邏輯或形式邏輯的學科。其研究物件是對證明和計算這兩個直觀概念進行符號化以後的形式系統。數理邏輯是基礎數學的一個不可缺少的組成部分。雖然名稱中有邏輯兩字，但並不屬於單純邏輯學範疇。

７離散數學

離散數學(Discrete mathematics)是研究離散量的結構及其相互關係的數學學科，是現代數學的一個重要分支。它在各學科領域，特別在計算機科學與技術領域有著廣泛的應用，同時離散數學也是的許多專業課程

８應用數學

應用數學，本專業培養掌握數學科學的基本理論與基本方法，具備運用數學知識、使用計算機解決實際問題的能力，受到科學研究的初步訓練，能在科技、教育和經濟部門從事研究、教學工作或在生產經營及管理部門從事實際應用、開發研究和管理工作的高階專門人才。

有太多需要解決的問題。例如

純數學的

1）代數幾何：朗格拉茲綱領。

2）黎曼猜想

應用和計算數學：

3）流體力學Navier-Stokes方程和湍流

4）空氣動力學尤拉方程（飛機火箭）

5）計算二個電子以上原子或大分子的譜（尖端材料的關健）

6）超高維矩陣（例如（十萬）*（十萬）矩陣）的計算，這在工程，經濟，網路，大資料處理中都起核心作用。

7）超高維積分的計算，這在統計力學，量子力學中都起基礎作用。