1、等比數列的定義

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示．

注意

2、等比數列的通項公式

由a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，……，歸納得出an=a1qn－1.此公式對n=1也成立.

注意

3、等比中項

如果在a與b中間插入一個數g，使a，g，b成等比數列，那麼g叫做a與b的等比中項．

注意

4、等比數列的判定方法

（1）、an=an－1·q（n≥2），q是不為零的常數，an－1≠0{an}是等比數列.

（2）、an2=an－1·an＋1（n≥2,

an－1,an,an＋1≠0）{an}是等比數列.

（3）、an=c·qn（c，q均是不為零的常數）{an}是等比數列.

5、等比數列的性質

設{an}為等比數列，首項為a1，公比為q.

（1）、當q>1，a1>0或0

1，a1<0或0

0時，{an}是遞減數列；當q=1時，{an}是常數列；當q<0時，{an}是擺動數列.

（2）、an=am·qn－m（m、n∈n*）.

（3）、當m＋n=p＋q（m、n、q、p∈n*）時，有am·an=ap·aq.

（4）、{an}是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項積相等，且等於首末兩項之積.

（5）、數列{λan}（λ為不等於零的常數）仍是公比為q的等比數列；若{bn}是公比為q′的等比數列，則數列{an·bn}是公比為qq′的等比數列；數列是公比為的等比數列；{|an|}是公比為|q|的等比數列.

（6）、在{an}中，每隔k(k∈n*)項取出一項，按原來順序排列，所得新數列仍為等比數列且公比為qk＋1.

（7）、當數列{an}是各項均為正數的等比數列時，數列{lgan}是公差為lgq的等差數列.

（8）、{an}中，連續取相鄰兩項的和（或差）構成公比為q的等比數列.

（9）、若m、n、p（m、n、p∈n*）成等差數列時，am、an、ap成等比數列.

6、等比數列的前n項和公式

設等比數列a1,a2,a3,…,an，…，它的前n項和是sn=a1＋a2＋…＋an，根據等比數列的通項公式可將sn寫成sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.…①

①兩邊乘以q得qsn=a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn

…②

兩式相減得

（1－q）sn=a1－a1qn，

由此得q≠1時等比數列{an}的前n項和的公式.

因為an=a1qn－1，所以上面公式還可以寫成

.

當q=1時，sn=na1.

注意

7、等比數列前n項和的一般形式

一般地，如果a1,q是確定的，那麼

8、等比數列的前n項和的性質

（1）、若某數列前n項和公式為sn=an－1(a≠0,±1)，則{an}成等比數列.

（2）、若數列{an}是公比為q的等比數列，則

（ⅰ）、sn＋m=sn＋qn·sm.

（ⅱ）、在等比數列中，若項數為2n(n∈n*)，則

（ⅲ）、sn,s2n－sn,s3n－s2n成等比數列.