1 雙曲線標準方程的推導 把平面內與兩個定點1F，2F的距離的差的絕對值等於常數

（小於12FF）的點的軌跡叫做雙曲線．其中這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩定點間的距離叫做雙曲線的焦距．即當動點設為M時，雙曲線即為點集P

122MMFMFa 分析：當│M1│>│M2│時，│M1│-│M2│=2a (M在雙曲線右支上) 當│M1│<│M2│時，│M1│-│M2│= -2a (M在雙曲線左支上) 設動點M的座標為（x,y）

雙曲線標準方程的推導： 當│M1│-│M2│=2a時，有： (+)2+

2- (−)2+

2=2a (移項) ⇒ (+)2+

2=2a+ (−)2+

2（兩邊平方）

2 ⇒(+)2+2=42+4a (−)2+

2+(−)2+2 (展開) ⇒2+2cx+2+2=42+4a (−)2+

2+2-2cx+2+2(移項) ⇒2−2+2cx+2cx +2−2+2-2=42+4a (−)2+

2（合併同類項） ⇒4cx=42+4a (−)2+

2（兩邊除以4） ⇒cx=2+a (−)2+

2（移項） ⇒cx-2=a (−)2+

2（兩邊平方） ⇒22-22cx+4=2[(−)2+2](展開) ⇒22-22cx+4=2[2-2 cx+2+2](展開) ⇒22-22cx+4=22-22 cx+22+22（移項） ⇒-22cx+22cx+22-22-22=22-4（合併同類項） ⇒22-22-22=22-4（按x,y順序提取公因式） ⇒（2-2)2-22=2(2-2)（2=2+2，等量代替） ⇒22-22=22（兩邊除以22） ⇒2

2-2

2=1(a>0,b>0)

3 當│M1│-│M2│=-2a時，有： (+)2+

2- (−)2+

2=-2a (移項) ⇒ (+)2+

2=-2a+ (−)2+

2（兩邊平方） ⇒(+)2+2=42-4a (−)2+

2+(−)2+2 (展開) ⇒2+2cx+2+2=42-4a (−)2+

2+2-2cx+2+2(移項) ⇒2−2+2cx+2cx +2−2+2-2=42-4a (−)2+

2（合併同類項） ⇒4cx=42-4a (−)2+

2（兩邊除以4） ⇒cx=2-a (−)2+

2（移項） ⇒cx-2=−a (−)2+

2（兩邊平方） ⇒22-22cx+4=2[(−)2+2](展開) ⇒22-22cx+4=2[2-2 cx+2+2](展開) ⇒22-22cx+4=22-22 cx+22+22（移項）