多元正態分佈的定義及其密度函式推導

多元正態分佈是這樣定義的：

假設u1,u2,...up獨立，且都服從N(0,1)分佈，記U=[u1,u2,...up]"，A為p階非奇異矩陣，X,μ為p維列向量

則X=AU+μ 所服從的分佈為p維正態分佈記為N(μ,AA")

由此可見，多元正態分佈中的協方差矩陣的原始定義並非是一個協方差的矩陣，而是線性變換的乘積。

下面我們來推導多元正態分佈的密度函式

假設p元隨機向量X~N(μ,∑)，那麼X的密度函式為

1

—————————————exp[(X-μ)"∑^(-1)(X-μ)]

(2*pi)^(p/2)*|∑|^(1/2)

證明：

令∑=AA"則X=AU+μ

→ U=A^(-1)(X-μ)

因為u1,u2,...up獨立，且都服從N(0,1)分佈，所以U的聯合分佈為

1

p(U)=————————exp[U"*U]

(2*pi)^(p/2)

現在將U=A^(-1)(X-μ)代入，有

1

p(X)=————————exp[(X-μ)"∑^(-1)(X-μ)]J(U→X)

(2*pi)^(p/2)

1

=—————————————exp[(X-μ)"∑^(-1)(X-μ)]

(2*pi)^(p/2)*|∑|^(1/2)

其中，J(U→X)為dU/dX的亞柯比行列式

證畢