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  • 1 # 使用者5433256257252

    說說我的一些比較膚淺的看法。因為許多東西還沒有證明。

    首先,凸多邊形應該有一箇中心點,這個中心點到每個邊的距離相等。如果不存在這個點,那就找一個點,每個變距離的方差最小。這個點作為多邊形的重心。

    然後,把矩形的中心放在多邊形的重心之上,調整多邊形四個頂點的位置,尋找面積最大的矩形即可。

    可以先找出重心,然後以此為原點建立一個極座標系。

    決定矩形的變數有對角線的一半的長度R,對角線和座標的夾角a和對角線夾角b。

    這樣,矩形可以表示成(R,a),(R,a+b)這兩個點的位置(因為是標準矩形,另外兩個點的位置肯定也隨之確定了,分別是(R,-a),(R,-a-b)),面積S=S

    (R,b),也可以用初等數學原理推匯出具體表達式,要求的是S的最大值。

    R,a,b,這三個變數的取值顯然和多邊形的各變的分部有關。各個邊的解析式都是固定的。可分別記作:

    N1(L,c)=0,L,c屬於XXXXX

    N2(L,c)=0,~~~~

    ……

    Nn(L,c)=0,~~~~

    因為是n邊形,所以有n個解析式。但決定頂點位置的只有其中的四個邊,這取決於構建矩形時a的大小和b的大小。

    總之,我們首先可以列出

    S=S(R,b)

    其次,根據多邊形的構成,我們可以列出,a屬於xx,b屬於xx時,R屬於xxx。

    然後加入限制條件,用拉格朗日乘數法,解出S的極值。

    難點是,多邊形是不確定的,所以極值的限定條件不太容易確定。

    還有最大矩形的中心一定在多邊形的中心嗎?這我只是憑直覺,沒有證明……

    更正一下,之前概念理解有誤,重心不是中心。原點應該選在物理學的重心位置。

    之所以選擇重心位置,是因為它是重要的分割點,以重心畫一條直線,剛好可以把圖形面積平分。

    圖畫得不好……

    如果球得的矩形重心發生偏移,比如重心從A偏移到B,那麼A的右側要剔除的面積要大於左側,偏移得越大差別越大。如果這樣的話,如果這個矩形是唯一的也不能平移到重心位置,那麼矩形右邊兩頂角會落在多邊形邊緣或離邊緣很近,而右側剛好要剔除更多的面積,這個多邊形很難維持凸多邊形的形態。

    但也不排除重心偏離很少的情況。所以我覺得絕大多數情況都可以這樣做,至少工程應用上有可行性。

    但應該還有更好的解。

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