在很多講述線性代數的教材中，把線性方程組的求解幾乎當作一種終極目的，這必然會讓讀者產生對線性代數甚至對整個數學的誤會，彷彿所有的數學理論都是為了求解一些特定的問題而存在。我將用兩篇文章介紹關於線性空間和線性對映的基本內容，作為高中生和本科生的科普閱讀。
我們熟悉的空間直角座標系 是最直觀的線性空間，它的組成元素是所謂的向量
這些向量可以做加法和數量乘法運算
這些運算滿足某些特定的運演算法則，例如加法的交換律、結合律。
接下來要介紹的線性空間概念將是抽象的，我們認為線性空間中的元素是向量，但是不要把向量直接和任何具體的事物做對應。
線性空間是定義在域上的，所謂域就是一種代數系統，它可以做四則運算且對四則運算保持封閉。有理數域、實數域、複數域是常見的域，比如兩個有理數相加、相乘等等還是有理數，但是整數集不是域，因為兩個整數相除不一定是整數。用 表示域，設
則 是線性空間是指
再給出一些線性空間的例子。首先是歐式空間
歐式空間 中的加法和數量乘法運算定義為
另外給出兩個抽象的線性空間，第一個是 上的一元多項式空間
它的加法和數量乘法按照常規的四則運算定義。
第二個是區間 上的連續函式空間 它的加法和數量乘法按照函式的運算定義。
從這兩個例子可以看出，線性空間中的元素沒有形式上的限制，例如可以是多項式或者連續函式，我們不關心所謂的向量是什麼內容，只要它在運算上滿足條件就可以。
現在說明歐式空間 和多項式空間 連續函式空間 的區別，就是前者是有限維的，給出線性空間的基、維數和向量的座標的定義。
設 是 上的線性空間，則 是 的基是指
可以證明，同一個線性空間如果有基，那麼它的不同的基含有相同個數的向量。這時稱 的維數是 稱 在基 下的座標是
將向量表示成座標以後，就可以用我們最習慣的方法做向量的運算了。
歐式空間 的維數是 歐式空間 是有限維的。
有限維線性空間是一類簡單的空間，這麼說是因為在同一個域 上的同樣維數的線性空間是同構的，也就是線上性代數的意義上可以看作是相同的。
最後介紹矩陣。矩陣是一個表
我們可以把 的每一列看作是 上 維線性空間中的向量在某個基下的座標，從而 是含有 個向量的向量組；也可以把 的每一行看作是 上 維線性空間中的向量在某個基下的座標，從而 是含有 個向量的向量組。
特別地，我們可以把 階方陣
看作是 維線性空間中的某個基本身，這就是為什麼將它稱為單位矩陣。
若 上的 階方陣 的列向量 是線性無關的，即
則稱 是可逆矩陣。這時 也成為 上 維線性空間中的一個基。至於可逆矩陣的名稱由何而來，我在下一篇文章中介紹
在很多講述線性代數的教材中，把線性方程組的求解幾乎當作一種終極目的，這必然會讓讀者產生對線性代數甚至對整個數學的誤會，彷彿所有的數學理論都是為了求解一些特定的問題而存在。我將用兩篇文章介紹關於線性空間和線性對映的基本內容，作為高中生和本科生的科普閱讀。
我們熟悉的空間直角座標系 是最直觀的線性空間，它的組成元素是所謂的向量
這些向量可以做加法和數量乘法運算
這些運算滿足某些特定的運演算法則，例如加法的交換律、結合律。
接下來要介紹的線性空間概念將是抽象的，我們認為線性空間中的元素是向量，但是不要把向量直接和任何具體的事物做對應。
線性空間是定義在域上的，所謂域就是一種代數系統，它可以做四則運算且對四則運算保持封閉。有理數域、實數域、複數域是常見的域，比如兩個有理數相加、相乘等等還是有理數，但是整數集不是域，因為兩個整數相除不一定是整數。用 表示域，設
則 是線性空間是指
再給出一些線性空間的例子。首先是歐式空間
歐式空間 中的加法和數量乘法運算定義為
另外給出兩個抽象的線性空間，第一個是 上的一元多項式空間
它的加法和數量乘法按照常規的四則運算定義。
第二個是區間 上的連續函式空間 它的加法和數量乘法按照函式的運算定義。
從這兩個例子可以看出，線性空間中的元素沒有形式上的限制，例如可以是多項式或者連續函式，我們不關心所謂的向量是什麼內容，只要它在運算上滿足條件就可以。
現在說明歐式空間 和多項式空間 連續函式空間 的區別，就是前者是有限維的，給出線性空間的基、維數和向量的座標的定義。
設 是 上的線性空間，則 是 的基是指
可以證明，同一個線性空間如果有基，那麼它的不同的基含有相同個數的向量。這時稱 的維數是 稱 在基 下的座標是
將向量表示成座標以後，就可以用我們最習慣的方法做向量的運算了。
歐式空間 的維數是 歐式空間 是有限維的。
有限維線性空間是一類簡單的空間，這麼說是因為在同一個域 上的同樣維數的線性空間是同構的，也就是線上性代數的意義上可以看作是相同的。
最後介紹矩陣。矩陣是一個表
我們可以把 的每一列看作是 上 維線性空間中的向量在某個基下的座標，從而 是含有 個向量的向量組；也可以把 的每一行看作是 上 維線性空間中的向量在某個基下的座標，從而 是含有 個向量的向量組。
特別地，我們可以把 階方陣
看作是 維線性空間中的某個基本身，這就是為什麼將它稱為單位矩陣。
若 上的 階方陣 的列向量 是線性無關的，即
則稱 是可逆矩陣。這時 也成為 上 維線性空間中的一個基。至於可逆矩陣的名稱由何而來，我在下一篇文章中介紹