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  • 1 # 使用者4367570282485

    微分和導數之間並不相等

    他們之間的關係是變數與比值的關係

    如果兩個變數x和y的微分dx和dy成比例關係:dx=kdy

    那麼我們就把這個比例數k叫做x對y的導數

    .

    那麼微分又是什麼呢?

    微分dx是對變數x的一種運算

    具體地說就是變數由x變到x"的差值:Δx=x"-x

    當這個差值足夠小,達到某種穩定狀態(見後述)時

    就是我們所想要的微分,並把這個差值Δx記作:dx

    .

    可見,如果x是常量,Δx就固定是0了

    所以常量的微分都是0,通常就說變數才有微分

    這也是微分運算與加減乘除運算的本質不同

    四則運算是對數值的運算

    微分運算是對變數的運算

    .

    那麼微分dx有什麼意義呢

    如果只有一個微分dx

    確實是毫無意義的

    因為現實世界裡的事物都是多元的、互相制約的

    他們互相作用構成一個系統才有意義

    .

    所以單獨一個變數的微分是沒有意義的

    要互相比較才有意義

    這就是為什麼微分總是要計算導數了

    或者說有了導數微分才有意義

    只有算出導數來了,才搞清楚兩個微分的關係

    導數y"把兩個微分dx和dy聯絡起來了:dy=y"dx

    而且這是一個最簡單的線性比例關係

    .

    最後來說微分為什麼要趨於0

    首先要搞清楚微分運算的目的是什麼

    其實上面已經提到了

    就是要弄清楚兩個變數x和y之間的關係

    通常這兩個變數不是隨機亂變

    (應對隨機亂變的事就是機率論了)

    所以就可以透過計算變數的差值Δx和Δy

    來觀察這個差值究竟有多大,是否很離譜

    更重要的是這兩個差值是否協調穩定

    如果是比較穩定的,Δy:Δx就只在某個範圍內變動

    進一步就想知道他究竟有沒有一個準確的比例數

    要想得到這個精確的結論,就要不斷地減少誤差

    讓Δx和Δy儘可能地小,當確認了這個精確值時

    微分就達到目的了,用dx和dy取代Δx和Δy稱之為微分

    把這個精確比例:dy/dx稱為y對x導數,記作y"

    終於找到他們的準確倍數關係了:dy=y"dx

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