這是一個非常非常有趣的問題。按照近代數學家所說，這個問題直接讓普通微積分的學習，進入到了數學分析的領域。這是這個問題的背景價值，現在，我想說大家請接收好邏輯上的一次嚴格旅行，因為嚴密的實數理論是邏輯上的怪物，和我們人類天性的感覺思維跟不匹配。所以，我會盡量回答的通俗又易懂，以便理解。

自然數借助直觀產生，是每個文明源頭都會認識到的。零起源於印度，經由阿拉伯人傳到歐洲。值得一提的是，我們人類慣常使用十進位表示自然數，然而少數文明體系裡也曾經使用過十二進位制，乃至六十進位，本質上說，使用十進位表示數不過是因為我們人類有十根手指而已。我們的全盤也是典型的五進位運算器。再把克羅內科這句話送上：上帝創造了自然數，其他不過都是人的創造。我們想一想，在自然數範圍進行度量和運算都是不夠的，需要我們進行進一步的擴充套件。起源於現實：長度的測量，只有自然數是不夠的，我們選定單位長度之後，是沒有辦法去比較身高比較重量的，總不能說每個人都是一米到兩米之間吧？這就迫使我們把單位一進行劃分，我們慣常的十等分的出來十分之一米，再有一百分之一米，這就自然而然地產生了有理數。如果是五進位，會有五分之一二三四等等，相應的就產生所有的正有理數。另一方面，在自然數里進行四則運算，如像零減去所有其他自然數，我們就自然而然把結果可以規定成負的自然數，負一負二等等。同理可以得到負的任何有理數。把自然數和負的自然數合在一起稱為整數。整數又可以視為除以一的有理數。總而言之，數系擴充套件到有理數是相當之了不起了。因為，在有理數範圍內，四則運算只剩下了加法（減法相當於加上一個數的相反數）和乘法（除以一個數相當於乘以它的倒數）。然後需要注意有理數是稠密的：任何兩個不相等的有理數之間總有無數個有理數。這也基本上就是從小學學到初中主體部分的數的知識。

是不是到此為止，我們的數系擴充就夠了呢？如果只是進行四則運算的話，確實有理數已經滿足我們的需求了。一個比較值得注意現象出現在了幾何學裡：勾股定理告訴我們單位正方形的對角線是根號2，微積分裡大量的極限運算（只要我們舉出來一個例子，那就是利用正多邊形逼近單位圓的周長問題，多邊形趨於無窮就是圓的周長）多數在有理數範圍內是不能被滿足的，這就迫切需要我們為了滿足極限運動而將有理數進行一次擴充套件，並且根據我們一貫的數系擴充套件原則，擴充套件後的數系要滿足原先數系所滿足l的大量優良運算性質。

這也是第一次數學危機（無理數的發現）第二次數學危機（微積分的基礎）的直接結果。人類發現無理數後因為恐懼和迷惑，導致了歐多克斯幾何學無理數理論成為希臘乃至牛頓時代眾多數學的邏輯基礎。而微積分的無窮小的謎題也在柏克萊大主教的詰難下一直懸而未決。更有，之後的數學家雖然大刀闊斧進步和創造，但是大家心裡有底，都知道這是逼開了基礎難題。

解決這個微積分基礎問題，最終是在大革命之後的柯西，魏爾斯特拉斯和波爾查諾（最後這位工作做的早，但被注意到的時候太晚）手裡被完美的解決。對他們工作進行總結和系統處理的，康托爾戴德金不過是繼承者（他們都是魏爾斯特拉斯學生）。我們現在分析學教材裡更多采用戴德金的分割，康托爾的有理數區間套構造和十進位小數的構造。這在比較寫的有水平的分析學教材裡都可以找到。我在此處只用戴德金的分割來說，沒有別的原因，選擇它只是因為更合於我們的直觀思維，因而也更好理解。

分割基於幾何原本裡提到的一個有趣事實：我們對一條直線進行切段處理所得結果並非兩條直線而是一條射線和一條直線。這意味著我們對錶徵有理數的數軸進行分割，所得結果是左段有最大數或者右端有最小數，二者必居其一。並且左端裡任何一個數永遠小於右端的數。分割左端和右端的所有數合計起來就是全體有理數。我們把這樣的分割稱之為有理分割。但對數軸分割的時候，大量出現的結果卻是右端無最大數的同時，右端也沒有最小數。這個事實告訴了我們，有理數系已經不足以對於分割封閉。我們把這種左右均無界的分割稱之為無理分割，如果說有理分割界點處是一個有理數的話，那麼無理分割對應的結果就是一個無理數。也就是說，對數軸進行分割得到的結果就是實數，其中只要有界點出現他就是有理數，否則就是對應一個無理數。（利用閉區間套也是如此，對有理數用區間套劃分，如果有理區間套中間套住一個點就是有理數劃分，如果套不出來的一個有理數點，那它是超出有理數範圍外的，稱之為無理數的數）我們現在需要在確認實數創造而出之後，它是否對極限運算是封閉的，是否意味著我們在創造出來實數後還需要進一步創造出新的數。幸好，我們根據這個過程，以及若干有趣的定理，比如聚點原理，單調有界原理，柯西準則等七條實數連續性公理手段可以很容易地證明這是不必，實數不光稠密而且連續和完備，這就說明實數作為極限運算也就自然成了微積分的基礎理論。

如果更進一步，我們需要建立更復雜的數系，那意味著我們要捨去若干實數的優良性質，這是我們不必要的。

有理數就是有理數，根本得不出無理數。但根號2約等於1.414，這是無理數，而根號2的平方等於2，這是有理數。懂否?

在生活中，有些人有理、老實、正直，而往往當背鍋俠、被穿小鞋、被騙，反而沒理，被陷害！這是因為誠信崩潰、法律不嚴肅、不公平現象多的環境所致。不過社會會慢慢好轉!

我是這樣理解的!

首先定義得熟悉，整數和分數統稱有理數，整數好理解，分數要注意，有限小數是分數，無線迴圈小數也是分數。無限不迴圈小數是無理數。