這個結果不是初等函式.
下面很簡單說明這不是初等函式的原因.
令t=1/x,則x=1/t,dx = d(1/t) = -1/(t^2)dt
原不定積分= ∫ e^t * (-1/(t^2)) dt = - ∫ e^t/t^2 dt
根據分部積分法 ∫ udv = uv - ∫ vdu,得
∫ 1/t^2 d(e^t) =- ∫ 1/t^2 d(e^t)
= e^t/t^2 - ∫ e^t d(1/t^2) = e^t/t^2 - ∫ e^t * (-1/(t^3)) dt
=e^t/t^2 + ∫ e^t /t^3 dt
因此 原不定積分 = - ∫ 1/t^2 d(e^t)= -(e^t/t^2 + ∫ e^t /t^3 dt)
又可以繼續對∫ e^t /t^3 dt進行分部積分,如此不斷,直至無窮.
事實上把 ∫ e^t/t^2 dt 中的t的指數改成1後,∫ e^t/t dt 同樣可以進行如上的分部積分.
因此∫ e^t/t dt 是一個無窮級數,∫ e^t/t dt = e^t/t + e^t/t^2 + e^t/t^3 + ...
這個結果不是初等函式.
下面很簡單說明這不是初等函式的原因.
令t=1/x,則x=1/t,dx = d(1/t) = -1/(t^2)dt
原不定積分= ∫ e^t * (-1/(t^2)) dt = - ∫ e^t/t^2 dt
根據分部積分法 ∫ udv = uv - ∫ vdu,得
∫ 1/t^2 d(e^t) =- ∫ 1/t^2 d(e^t)
= e^t/t^2 - ∫ e^t d(1/t^2) = e^t/t^2 - ∫ e^t * (-1/(t^3)) dt
=e^t/t^2 + ∫ e^t /t^3 dt
因此 原不定積分 = - ∫ 1/t^2 d(e^t)= -(e^t/t^2 + ∫ e^t /t^3 dt)
又可以繼續對∫ e^t /t^3 dt進行分部積分,如此不斷,直至無窮.
事實上把 ∫ e^t/t^2 dt 中的t的指數改成1後,∫ e^t/t dt 同樣可以進行如上的分部積分.
因此∫ e^t/t dt 是一個無窮級數,∫ e^t/t dt = e^t/t + e^t/t^2 + e^t/t^3 + ...