什麼樣的圖形只用一筆就能畫出來？筆既不離開紙面，也不重複。這實際上是十八世紀一個經典的數學問題：哥尼斯堡七橋問題。

七橋問題

在普魯士的哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）有一個公園，公園裡有七座橋將普雷格爾河中兩個島與與河岸連線起來。

1736年，當地居民舉辦了一項有意思的健身活動：在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次而且起點與終點必須是同一地點。

有許多人進行了嘗試，但是都失敗了。此時當時世界上最偉大的數學家尤拉剛好在這裡，他敏銳的發現這裡蘊藏著深刻的數學內涵，並把它稱為一筆畫問題。

尤拉把七座橋畫作七條線段，並把問題轉化為是否可以透過一筆將這個圖形畫出來。經過思考，尤拉認為這是不可能的。

不僅如此，尤拉還得出了哪些圖形可以一筆畫，哪些不能一筆畫的條件。

首先，尤拉把圖形中的點分為兩種：如果過該點的線段有偶數條，就稱為偶點；如果過該點的線段有奇數條，就稱為奇點。比如下面的圖形中，紅色圓圈的點就是偶點，綠色圓圈的點就是奇點。

尤拉指出：如果一個圖形可以一筆畫，那麼它的奇點個數一定是0個或者2個。

如果奇點個數是0個，那麼起點和終點是同一個點，從圖形中任何一點出發都可以一筆畫，比如上圖中左邊的圖形就是這樣。

如果奇點個數是2個，那麼只能從一個奇點出發，畫到另一個奇點，才能將圖形畫出來，這就是上圖中右邊的情況。

理解這個問題其實並不難，因為：

如果一個點既不是起點也不是終點，那麼線段經過該點時必然會一進一出，線段成對出現，一定是偶點。

如果起點和終點是一個點，那麼該點有一條出發線段和一條結束線段，也是偶點。

如果這個點只是出發點，或者只是結束點，才可能是奇點。

所以，如果從一點出發一筆畫回到這個點，圖形中就不會有奇點；如果從一點出發一筆畫到另一點，圖形中就會有兩個奇點。

比如，我們來看看“日”是否能一筆畫？

由於日字腰上兩個點有三條線段，因此是奇點，其餘點都有兩條線段，是偶點。因此日字可以一筆畫，而且必須從腰上的一點出發到另一點結束。按照圖中1234567的順序，就能畫出來了。

我們再來看看格尼斯堡七橋問題。

在這個圖形中，過A、C或D各有3條線段，是奇點；過B有5條線段，也是奇點。圖中有4個奇點，因此是不能一筆畫的。

對於題主提出的四個圖，每個圖奇點個數分別是：4、2、0、2，所以第一個圖不能一筆畫，而後面三個圖可以。

說了這麼多，讀者是不是可以看看“田”字中有幾個奇點？能不能一筆畫呢？

尤拉

歐拉向聖彼得堡科學院提交《哥尼斯堡的七座橋》的論文時，只有29歲，在解答問題的同時，他開創了數學的一個新的分支——圖論與幾何拓撲。

尤拉是一個天才，在數學史上的地位就像牛頓在物理學的地位一般偉大，我們在研究數學時會經常看到尤拉公式、尤拉定理、尤拉函式。他13歲進大學學習，16歲就獲得了碩士學位。28歲時，由於生病，尤拉的右眼失明瞭。晚年時左眼也失明瞭。但是就在雙目失明的情況下，尤拉還憑藉心算解決了許多的數學問題。

他不光是數學史上里程碑式的人物，同時也是一位物理學家，為物理學的發展鋪平了數學的道路。在他的一生中寫出了886本書籍和論文，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙了47年！

一筆完成圖畫，滿足兩個條件其中一個就行，第一是一個點上的所有線都是偶數。第二有奇數個點但是隻能是有兩個奇數個點也可以完成，但是隻能是首和尾

01圖一筆畫不出來，一筆畫要滿足奇點為0或2。01有4個奇點。02有兩個頂點，頂點也算奇點。03沒有奇點。04有2個奇點。（奇點是一個點射出去的線為奇數，頂點也算奇點。）

這是一個一筆畫問題，即平面圖形由一筆畫成，即不能筆尖離開紙面，也不能重複畫線段。觀察4幅圖，只有第一幅圖是不能一筆畫成的。那麼接下來就說說什麼樣的圖能一筆畫出來。

提到一筆畫問題，就不得不說“哥尼斯堡城‘七橋問題’”，這是1736年由29歲的尤拉提出的，在解答問題的同時開創了數學新分支-----圖論。

哥尼斯堡七橋問題說的是，在哥尼斯堡的一個公園，有七座橋將河心兩個島與河岸連線起來，研究從四塊陸地的任何一塊出發經過每座橋一次最終回到起點的方法。

要把這七橋的每種走法都試一次，需要有5040種，顯然不靠譜。尤拉將複雜的橋河簡單化，用四個點代表4塊陸地，地塊之間有橋的地方連一條曲線，可以抽象成下面這個幾何圖形。因此，七橋問題可以抽象成下面4個頂點圖形的一筆畫問題。

在分析這個問題是，尤拉認為，除了起點之外，每次經過一條線到達一個點，即進入一塊陸地，勢必也是要由另一條線離開此點，從這個角度分析，與一個點連線的線必然有一進一出，因此，每個點的連線線必須為偶數。尤拉最終得出了連通圖可一筆畫成的充要條件，即圖中的奇數點數目必須滿足0個或者是2個。奇點即連線一個點的線的數目為奇數，而且必須由奇點開始下筆。

回到七橋問題，與四個點連線的線的數量均為奇數，因此七橋問題無法一筆畫成，即不存在一種走法，能夠從一個陸地出發，不重複的走遍每座橋。

這樣一來，題主關於四幅圖的一筆畫問題就一目瞭然了。圖1有四個頂點為奇數點，因此無法一筆畫成。相應的，圖2只有兩個，即兩端的線，圖3沒有奇點，圖4也是2個奇點，這三幅圖都能一筆畫成。

說了這麼多，大家可以自己嘗試下啊。