在數學上，分數分母等於0的時候，是否出現了數字的最大值？

小學的時候課本和老師就告訴我們，除法中除數不能為0，分數中分母也不能為0。聽話的學生知道之後，乖乖照做。

但也有人一直受到困擾，偏不信邪，你說不能為0，我就不為0了嗎？“禁止等於引誘”，對某些人來說，禁止的誘惑力就像門上貼的那個封條，總想透過門縫往裡瞅瞅，看裡邊是什麼。

我們知道，分數定義於除法，除法定義於乘法，那麼就讓我們追根溯源，從源頭來找找原因吧。

一.除法中除數為0，會如何？

我們先回憶一下，小學的除法是怎麼引入的。

有10個蘋果，平均分給5個小朋友，每人分幾個？

10÷5=2（個）

這是除法的現實意義。

如果我們把題目改成：

有10個蘋果，平均分給0個小朋友，每人分幾個？

不存在的那個小朋友“0”也很苦惱且無辜，你愛咋分咋分，反正從0分到無窮大都分不出去，關我什麼事？

除法的定義：已知兩個因數的積與其中一個非零因數，求另一個因數的運算，叫做除法。

除法的定義要求非0，我們偏不非0，看看會如何。

例1：已知一個因數為0，積為2，求另一個因數是多數？（完美的違背了除法定義，是不是很刺激？）

知道積和其中一個因數，求另一個因數，用除法，即：

？=2÷0

要算出這個“？”，目前看沒法算，又得回到乘法中去找，即：

0×？=2

0乘什麼數得2呢？我們只知道0乘任何數得0，沒有聽過0乘那個數得2啊，這也意味著我們找不到這樣的“？”，此題無解。

這意味著：被除數不為0，除數為0時，商不存在。

例2：我們還知道，

0×1=0，

0×2=0，

0×3=0，

0×4=0，

...

根據除法與乘法的關係，有：

0÷0=1，

0÷0=2，

0÷0=3，

0÷0=4，

...

這有意味著：當被除數為0，除數也為0時，商可以是任何數。

綜上，0為除數時，商要不不存在，要麼是任何數，無法確定，這破壞了四則運算結果的唯一性，一百個人有一百個答案，那這還怎麼算啊。

所以才規定0不能作為除數，否則就亂套了。

二.分數的分母為0時，分數會如何？

小學高年級的時候，我們學了分數。分數的分子相當於除法裡的被除數，分母相當於除數，分數值等於除法的商。既然除數不能為0，那麼分母也自然不能為0了。

但是分數畢竟不是除法，除法是運演算法則，不能隨便修改，而分數只是一個數，我們能否給分母為0的分數重新定義呢？

比如0!=1；a的0次方=1等；為何不規定a/0=∞(a≠0)？

1.分母趨近於0分數值的變化

直接令分母為0好像有點突兀，我們柔和一點，先研究分母趨近於0時，分數值是如何變化的。

小學的時候，我們知道分子不變，分母越小，分數值越大。當分母逐漸趨於0時，分數值趨於無窮大。

初中的時候，我們引入了負數，學了反比例函式y=1/x，知道，當x趨近於0的時候，既可以從x軸正半軸方向趨近，也可以從x軸負半軸方向趨近，這兩種趨近方式導致的函式值y變化截然相反，一個趨於正無窮，一個趨於負無窮。

那麼我們在定義a/0=∞時，是正無窮還是負無窮。

或者我們可以變通一點，規定：當a>0時，a/0=+∞；當a<0時，a/0=-∞。

好像很有道理，但是你只是相當於把函式換了一個方向，並沒有解決從兩側趨於0時，函式值(極限)不統一的問題。

這裡邊有兩個變化，一個是a的正負，一個是0的正負（右趨近還是左趨近）。

即使我們令a=1，0的趨近方向不同，也會出現正負無窮的情況。你既然是一個數，那麼正負性應該是確定的，有穩定的性質。所以，這樣的a/0無法定義。

2.分母為0引起的矛盾

我們還是不死心，既然不能讓a/0=∞。我們規定詳細一點，令a/0=w（a>0，w是一個最大的正數）

那麼問題來了，有沒有最大的數？很多小朋友都知道，如果能定義出來最大的數就不是最大的數。

w為最大的數，那麼w+1呢？

索性讓你們都是最大好了，來個並列第一，反正都那麼大了，也不在乎差1了，即w=w+1。也可以理解為無窮大加1還是無窮大。

有了上述定義，我們可以得出結論：

∵w=w+1，

∴（w+1）-w=0

∴1=0。

我們雖然費盡心機的定義了一個數a/0=w，但是與現有的系統相矛盾，那麼這個定義的意義何在？

數學家們在定義0!=1；a的0次方=1的時候，並沒有與現有體系產生矛盾，還做出了補充，所以這樣的定義是沒有問題的。但是如果你的定義與我們基本的四則運算，交換律結合律都發生衝突，那這種定義就不可取。

3.結合反比例函式，這一問題也就是影象與座標軸相交的問題。同一平面，為何不能相交？

相交必然有交點，交點一點確定，這個數就確定了，不再是無窮了。你交點上面的點有代表什麼？無窮不可到達，它表明了一種趨勢，只有永遠不相交，才是無窮。

無窮大不是一個數，它的運算不符合數的運算的特性，自然我們也不能將之放入群中，數中的0還是不能做除數。零分母和無窮大隻能用於形式計算。

這個問題很有意思，提問者看來也是數學小迷弟，原則上，分數的分母越小，分數值越大，比如：1/x 當x=0.00001時，或等於0.0000無限零1，時，分數值越大，但是當0.000無限迴圈，接近0的時候，那麼分數值本身不應該無限期的大下去嗎？怎麼最後忽然變成零了呢？

這就是數學的趣味性所在，按照現有的數學規則一直推理下去，當x=0的時候是最大值，但是我們又得到的另一個數學規則是，0不能做分母，為何零不能是分母，這只是一個規則，沒有更詳細的解釋。

其實：我們能用很簡單的方法來證明“0.9的9迴圈等於1.也能用方法證明，0.0001零的無限迴圈，等於零。

這個問題，就類似於，一堆沙，我拿出一粒來，還是一堆沙，那麼我不斷的拿出來，結果最後還剩兩粒的時候，我再拿出一粒來，還剩一粒，那麼這一粒是一堆沙嗎？

這就是萬事萬物的一個最後極限之度，越過那麼一點點的度，都會變成另外一個物體，不在遵守原來的規則，也不能在用原來的理論推理，

所以這個角度講，可能真的存在不平衡的時空，因為時空無限的延伸，到一定地步，就不能再按照原來的時空規則來定義，她事實上獲得了新的定義，就是另外的時空。